Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) Se \vec{u} e \vec{v} tem a mesma norma, então \vec{u}-\vec{v} e \vec{u}+\vec{v} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma avaliação:
  • Informação dada: \vec{u} e \vec{v} têm a mesma norma, isto é, \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
  • Questão: afirmar se a proposição “então \vec{u}-\vec{v} e \vec{u}+\vec{v} são ortogonais” é verdadeira ou falsa e justificar logicamente (ou com um contraexemplo).

Passo 2

Definições e propriedades que vou usar (explicando bem cada coisa).
  • Produto escalar (em \mathbb{R}^n): para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} é uma operação que satisfaz linearidade e simetria: \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
  • Norma e produto escalar: a norma ao quadrado de um vetor é o produto escalar do vetor por ele mesmo, isto é \|\vec{a}\|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}.
  • Ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.
Vou calcular o produto escalar entre \vec{u}-\vec{v} e \vec{u}+\vec{v} e ver quando ele vale zero.

Passo 3

Cálculo direto, passo a passo:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})
Usando a distributividade do produto escalar (expandindo o produto):
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.
Agora aplico a simetria do produto escalar ( \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}):
\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}=0.
Logo sobra
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 4

Interpretação do resultado: se \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|, então \|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0. Portanto
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=0,
ou seja, \vec{u}-\vec{v} e \vec{u}+\vec{v} são ortogonais. Isso vale para quaisquer vetores em um espaço euclidiano real (por exemplo \mathbb{R}^n) onde o produto escalar é bilinear e simétrico.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido para fixar: tome \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1). Então \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1. Calculando
\vec{u}-\vec{v}=(1,-1),\qquad \vec{u}+\vec{v}=(1,1),
e
(1,-1)\cdot(1,1)=1-1=0,
confirmando a ortogonalidade.

Passo 6

Observação final (para não confundir): a demonstração acima usa a simetria do produto escalar real. Em espaços complexos com produto interno hermitiano a expressão se complica por conjugação e aí seria preciso cuidado extra; mas no contexto usual de vetores reais a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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