Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) Se
e
tem a mesma norma, então
e
são ortogonais.
( ) (5 pontos) Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma avaliação:
- Informação dada:
e têm a mesma norma, isto é, . - Questão: afirmar se a proposição “então
e são ortogonais” é verdadeira ou falsa e justificar logicamente (ou com um contraexemplo).
Passo 2
Definições e propriedades que vou usar (explicando bem cada coisa).
- Produto escalar (em
): para dois vetores e , o produto escalar é uma operação que satisfaz linearidade e simetria: . - Norma e produto escalar: a norma ao quadrado de um vetor é o produto escalar do vetor por ele mesmo, isto é
. - Ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.
Vou calcular o produto escalar entre
e
e ver quando ele vale zero.
Passo 3
Cálculo direto, passo a passo:
Usando a distributividade do produto escalar (expandindo o produto):
Agora aplico a simetria do produto escalar (
):
Logo sobra
Passo 4
Interpretação do resultado: se
, então
. Portanto
ou seja,
e
são ortogonais. Isso vale para quaisquer vetores em um espaço euclidiano real (por exemplo
) onde o produto escalar é bilinear e simétrico.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido para fixar: tome
e
. Então
. Calculando
e
confirmando a ortogonalidade.
Passo 6
Observação final (para não confundir): a demonstração acima usa a simetria do produto escalar real. Em espaços complexos com produto interno hermitiano a expressão se complica por conjugação e aí seria preciso cuidado extra; mas no contexto usual de vetores reais a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro