Questão 2: (
pontos) Seja
o plano de equação
. Determine a equação de duas retas
e
concorrentes, formando um ângulo de
, de tal maneira que as retas não possuam ponto de interseção com o plano
.
Passo 1
O enunciado dá o plano
de equação
e pede duas retas
e
que satisfaçam simultaneamente:
- sejam concorrentes (ou seja, tenham um ponto em comum);
- formem um ângulo de
entre si; - não possuam ponto de interseção com o plano
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- plano:
; - queremos duas retas concorrentes
com ângulo entre elas; - nenhuma das retas deve intersectar
.
Passo 2
Como representar uma reta e como testar interseção com o plano
.
Uma reta genérica em forma paramétrica pode ser escrita como
onde
é um ponto da reta e
é um vetor diretor da reta. A coordenada
dessa reta é
.
Para que a reta intersecte o plano
existe um
tal que
. Se
então podemos sempre resolver
logo a reta cruza
. Portanto, para que a reta NÃO tenha interseção com
é necessário e suficiente que
Interpretação geométrica: o vetor diretor deve ter componente
nula (a reta é paralela ao plano
) e a reta não pode estar contida no plano (portanto o ponto base tem
-coordenada diferente de
).
Passo 3
Aplicando a condição acima às duas retas: ambas devem ter vetores diretores de forma
(ou seja, viver no plano
constante) e devem passar por um ponto cuja coordenada
seja diferente de
. Como queremos retas concorrentes, escolhemos um ponto comum simples com
. Uma escolha conveniente (para contas simples) é o ponto
porque
. Qualquer outra escolha com
também serve, mas
simplifica as expressões.
Passo 4
Agora escolhemos dois vetores diretores no plano
que formem entre si um ângulo de
. Lembrando a fórmula do ângulo entre vetores:
Se
e
são vetores, o cosseno do ângulo
entre eles é
onde
é o produto escalar e
é a norma de
.
Escolhemos, de forma simples,
Calculamos o produto escalar e as normas:
Logo
Isto implica
, pois
. Assim
e
formam o ângulo pedido. Além disso ambos têm componente
igual a zero, então qualquer reta com esses vetores diretores e ponto inicial
não intersectará
.
Passo 5
Escrevendo as retas com o ponto
e vetores diretores escolhidos:
reta
com vetor diretor
:
o que em equações paramétricas dá
reta
com vetor diretor
:
o que em equações paramétricas dá
Verificações rápidas (para ficar seguro na prova):
- Concorrência: tomando
e ambas passam por . - Não interseção com
: em ambas as retas a coordenada é sempre , portanto nunca atinge . - Ângulo: já mostramos que os vetores diretores formam
.