Questão 2: ( \mathbf{2 5} pontos) Seja \pi o plano de equação x=10. Determine a equação de duas retas r_{1} e r_{2} concorrentes, formando um ângulo de 45^{\circ}, de tal maneira que as retas não possuam ponto de interseção com o plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi de equação \,x=10\, e pede duas retas r_{1} e r_{2} que satisfaçam simultaneamente:
  • sejam concorrentes (ou seja, tenham um ponto em comum);
  • formem um ângulo de 45^\circ entre si;
  • não possuam ponto de interseção com o plano \pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • plano: \pi:\;x=10;
  • queremos duas retas concorrentes r_1,r_2 com ângulo \,45^\circ entre elas;
  • nenhuma das retas deve intersectar \pi.

Passo 2

Como representar uma reta e como testar interseção com o plano \pi.
Uma reta genérica em forma paramétrica pode ser escrita como
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c),\qquad t\in\mathbb{R},
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é um vetor diretor da reta. A coordenada x dessa reta é \,x(t)=x_0+ta.
Para que a reta intersecte o plano \pi:\,x=10 existe um t tal que x_0+ta=10. Se a\neq0 então podemos sempre resolver
t=\frac{10-x_0}{a},
logo a reta cruza \pi. Portanto, para que a reta NÃO tenha interseção com \pi é necessário e suficiente que
a=0\quad\text{e}\quad x_0\neq 10.
Interpretação geométrica: o vetor diretor deve ter componente x nula (a reta é paralela ao plano \pi) e a reta não pode estar contida no plano (portanto o ponto base tem x-coordenada diferente de 10).

Passo 3

Aplicando a condição acima às duas retas: ambas devem ter vetores diretores de forma (0,b,c) (ou seja, viver no plano x= constante) e devem passar por um ponto cuja coordenada x seja diferente de 10. Como queremos retas concorrentes, escolhemos um ponto comum simples com x\neq10. Uma escolha conveniente (para contas simples) é o ponto
P=(0,0,0),
porque 0\neq10. Qualquer outra escolha com x\neq10 também serve, mas P=(0,0,0) simplifica as expressões.

Passo 4

Agora escolhemos dois vetores diretores no plano x=0 que formem entre si um ângulo de 45^\circ. Lembrando a fórmula do ângulo entre vetores:
Se u e v são vetores, o cosseno do ângulo \theta entre eles é
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},
onde u\cdot v é o produto escalar e \|u\| é a norma de u.
Escolhemos, de forma simples,
u=(0,1,0),\qquad v=(0,1,1).
Calculamos o produto escalar e as normas:
u\cdot v = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1,
\|u\| = \sqrt{0^2+1^2+0^2}=1,\qquad \|v\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo
\cos\theta=\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isto implica \theta=45^\circ, pois \cos 45^\circ=1/\sqrt{2}. Assim u e v formam o ângulo pedido. Além disso ambos têm componente x igual a zero, então qualquer reta com esses vetores diretores e ponto inicial P não intersectará \pi.

Passo 5

Escrevendo as retas com o ponto P=(0,0,0) e vetores diretores escolhidos:
reta r_1 com vetor diretor u:
r_1:\;(x,y,z)=(0,0,0)+t(0,1,0),\qquad t\in\mathbb{R},
o que em equações paramétricas dá
r_1:\quad x=0,\quad y=t,\quad z=0.
reta r_2 com vetor diretor v:
r_2:\;(x,y,z)=(0,0,0)+s(0,1,1),\qquad s\in\mathbb{R},
o que em equações paramétricas dá
r_2:\quad x=0,\quad y=s,\quad z=s.
Verificações rápidas (para ficar seguro na prova):
  • Concorrência: tomando t=0 e s=0 ambas passam por P=(0,0,0).
  • Não interseção com \pi: em ambas as retas a coordenada x é sempre 0, portanto nunca atinge 10.
  • Ângulo: já mostramos que os vetores diretores formam 45^\circ.

Resposta

r_1:\;(x,y,z)=(0,0,0)+t(0,1,0),\\ t\in\mathbb{R}.\n
r_2:\;(x,y,z)=(0,0,0)+s(0,1,1),\\ s\in\mathbb{R}.

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