Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): ( 1,0 ). Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{1}{\sqrt{2+\left(x^{2}-1\right) \cos \left(\frac{1}{x+1}\right)}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1} \frac{1}{\sqrt{\,2+\big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\,}}.
Informações relevantes dadas (e observações imediatas):
  • A expressão dentro da raiz é 2+\big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right).
  • No ponto de interesse x=-1 temos x+1=0, então \cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right) oscila (não tem limite) quando x\to-1.
  • Porém x^{2}-1 anula em x=-1 (pois (-1)^2-1=0), ou seja, o fator multiplicador da cosseno tende a 0.
  • A função cosseno satisfaz a desigualdade -1\le \cos t\le 1 para todo t. Esta desigualdade será útil.

Passo 2

Mostrar que a expressão está bem definida (a raiz quadrada aparece de número positivo) para x suficientemente próximo de -1.
Explicação e técnica: preciso garantir que o argumento da raiz seja estritamente positivo quando x está perto de -1, para que a raiz e o recíproco façam sentido. Como x^{2}-1\to 0 quando x\to-1, existe um intervalo ao redor de -1 onde |x^{2}-1|<1. Um valor explícito serve: se escolhermos \delta=\sqrt{2}-1>0 então, sempre que |x+1|<\delta, segue que |x|<\sqrt{2} e portanto x^{2}<2, o que implica |x^{2}-1|<1.
Usando -1\le \cos(\cdot)\le 1 e |(x^{2}-1)\cos(\cdot)|\le |x^{2}-1|, obtemos para |x+1|<\delta
2 - |x^{2}-1| \le 2 + (x^{2}-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right) \le 2 + |x^{2}-1|.
Como |x^{2}-1|<1 nesta vizinhança, o lado esquerdo é maior que 1. Logo o argumento da raiz é >1 e, em particular, positivo. Portanto a expressão do enunciado está bem definida para x suficientemente próximo de -1.

Passo 3

Mostrar que o termo \big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right) tende a 0 quando x\to-1.
Aula curta (ferramenta usada: desigualdade e Teorema do Confronto / Squeeze): sabemos que, para todo t,
-1 \le \cos t \le 1.
Multiplicando por x^{2}-1 (que pode ser positivo ou negativo) e usando valor absoluto convenientemente, obtemos a desigualdade válida para todo x\neq -1:
-|x^{2}-1| \le (x^{2}-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right) \le |x^{2}-1|.
Agora note que |x^{2}-1|\to 0 quando x\to -1 (pois x^{2}-1 é contínua e vale 0 em -1). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), se uma função h(x) satisfaz -a(x)\le h(x)\le a(x) com a(x)\to 0, então h(x)\to 0. Aplicando isso aqui,
\lim_{x\to -1} (x^{2}-1)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)=0.
Comentário prático: essa é uma técnica padrão — uma função oscilante mas multiplicada por algo que tende a zero costuma ter limite zero, desde que a oscilação esteja uniformemente limitada (aqui a cosseno está limitada entre -1 e 1).

Passo 4

Concluir o limite do argumento da raiz e aplicar continuidade da raiz quadrada.
Temos
2+\big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\longrightarrow 2+0=2 \qquad\text{quando }x\to-1.
A função y\mapsto \sqrt{y} é contínua no ponto y=2>0. Portanto
\sqrt{\,2+\big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\,}\longrightarrow \sqrt{2} \qquad\text{quando }x\to-1.

Passo 5

Passar para o recíproco e concluir o limite pedido.
A função y\mapsto \dfrac{1}{y} é contínua em y=\sqrt{2} (porque \sqrt{2}\neq 0). Assim, tomando recíproco do limite da raiz,
\frac{1}{\sqrt{\,2+\big(x^{2}-1\big)\cos\!\left(\frac{1}{x+1}\right)\,}} \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad\text{quando }x\to-1.
Pequena motivação final: apesar de \cos\!\left(\dfrac{1}{x+1}\right) não ter limite quando x\to-1, o fator multiplicador x^{2}-1 anula exatamente em -1, “anulando” a oscilação. É comum ver esse tipo de produto em limites: oscilação limitada vezes algo que vai a zero dá zero.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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