Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): ( 1,0 ). Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas (e observações imediatas):
- A expressão dentro da raiz é
. - No ponto de interesse
temos , então oscila (não tem limite) quando . - Porém
anula em (pois ), ou seja, o fator multiplicador da cosseno tende a . - A função cosseno satisfaz a desigualdade
para todo . Esta desigualdade será útil.
Passo 2
Mostrar que a expressão está bem definida (a raiz quadrada aparece de número positivo) para
suficientemente próximo de
.
Explicação e técnica: preciso garantir que o argumento da raiz seja estritamente positivo quando
está perto de
, para que a raiz e o recíproco façam sentido. Como
quando
, existe um intervalo ao redor de
onde
. Um valor explícito serve: se escolhermos
então, sempre que
, segue que
e portanto
, o que implica
.
Usando
e
, obtemos para
Como
nesta vizinhança, o lado esquerdo é maior que
. Logo o argumento da raiz é
e, em particular, positivo. Portanto a expressão do enunciado está bem definida para
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Mostrar que o termo
tende a
quando
.
Aula curta (ferramenta usada: desigualdade e Teorema do Confronto / Squeeze): sabemos que, para todo
,
Multiplicando por
(que pode ser positivo ou negativo) e usando valor absoluto convenientemente, obtemos a desigualdade válida para todo
:
Agora note que
quando
(pois
é contínua e vale
em
). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), se uma função
satisfaz
com
, então
. Aplicando isso aqui,
Comentário prático: essa é uma técnica padrão — uma função oscilante mas multiplicada por algo que tende a zero costuma ter limite zero, desde que a oscilação esteja uniformemente limitada (aqui a cosseno está limitada entre
e
).
Passo 4
Concluir o limite do argumento da raiz e aplicar continuidade da raiz quadrada.
Temos
A função
é contínua no ponto
. Portanto
Passo 5
Passar para o recíproco e concluir o limite pedido.
A função
é contínua em
(porque
). Assim, tomando recíproco do limite da raiz,
Pequena motivação final: apesar de
não ter limite quando
, o fator multiplicador
anula exatamente em
, “anulando” a oscilação. É comum ver esse tipo de produto em limites: oscilação limitada vezes algo que vai a zero dá zero.