Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): (
) Faça um esboço do gráfico de uma função
com as seguintes propriedades:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente ter o objetivo na mira.
- O enunciado fornece uma função
(ou seja, o domínio é todos os reais, exceto ). - São dadas as propriedades limite próximas a
: -
. -
.
-
- O que é pedido: fazer um esboço do gráfico de uma função que satisfaça essas duas propriedades e justificar as respostas.
Passo 2
Escolha de uma função simples que satisfaça as propriedades pedidas.
- Uma escolha natural, simples e que funciona é a função
- Vou agora justificar por que essa função satisfaz exatamente as duas propriedades limites do enunciado.
Passo 3
Provar que
(explicação passo a passo com a definição).
- Entenda a definição: dizer que
significa que para todo existe tal que, sempre que , temos . - Pegue um
qualquer. Escolha (note que pois ). - Se
, então, como , Portanto . - Como isso vale para todo
com a escolha , concluímos pela definição que
Passo 4
Provar que
(também passo a passo).
- A definição: dizer que
significa que para todo existe tal que, sempre que , temos . - Tome
arbitrário e escolha (novamente ). - Se
, então . Logo . - Como
temos , então - Assim, para todo
existe tal que implica . Pelas definições, concluímos
Passo 5
Outras propriedades úteis para o esboço (continuidade e comportamento longe de
).
- A função
é contínua em todo ponto (porque é quociente de funções contínuas com denominador não nulo). - Limites quando
: e . Isso mostra que há uma assíntota horizontal ao longe. - Portanto o gráfico tem duas “ramificações”: uma para
(positiva) que vai para quando e tende a quando ; outra para (negativa) que vai para quando e tende a quando .
Passo 6
Como fazer o esboço à mão — passo a passo prático (muito útil na prova).
- Desenhe os eixos
e e marque a reta vertical como linha tracejada (é a assíntota vertical). - Marque também a reta horizontal
como linha tracejada (assíntota horizontal ao infinito). - Para o ramo
: - Calcule alguns pontos fáceis:
, , . - Ao aproximar
de (por exemplo ) a função fica grande positiva ( ): desenhe a curva subindo muito quando chega perto de pela direita. - Ao ir para a direita, a curva diminui e aproxima de
.
- Calcule alguns pontos fáceis:
- Para o ramo
: - Alguns pontos:
, , . - Ao aproximar
de (por exemplo ) a função fica muito negativa ( ): desenhe a curva caindo muito perto de pela esquerda. - Ao ir para a esquerda, a curva sobe (numericamente, aproxima-se de
pela negativa).
- Alguns pontos:
- No desenho, coloque setas nas pontas das curvas para indicar que elas continuam: à direita do ramo positivo a curva tende para
, à esquerda do ramo negativo também tende para , e perto de os ramos vão para .
Passo 7
Comentário final motivador e cheque rápido.
- Resumindo:
cumpre exatamente e . É a escolha mais simples para esboçar a função pedida. - Dica amiga: na prova, desenhe primeiro os pontos citados e as duas assíntotas; isso já dá um esboço correto e rápido. Se tiver tempo, explique como escolheu
ao justificar os limites (isso mostra domínio da definição).