Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} ) Faça um esboço do gráfico de uma função f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} com as seguintes propriedades:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente ter o objetivo na mira.
  • O enunciado fornece uma função f:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R} (ou seja, o domínio é todos os reais, exceto 0).
  • São dadas as propriedades limite próximas a 0:
    • \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x) = -\infty.
    • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = \infty.
  • O que é pedido: fazer um esboço do gráfico de uma função que satisfaça essas duas propriedades e justificar as respostas.

Passo 2

Escolha de uma função simples que satisfaça as propriedades pedidas.
  • Uma escolha natural, simples e que funciona é a função f(x)=\frac{1}{x},\qquad x\in\mathbb{R}-\{0\}.
  • Vou agora justificar por que essa função satisfaz exatamente as duas propriedades limites do enunciado.

Passo 3

Provar que \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty (explicação passo a passo com a definição).
  • Entenda a definição: dizer que \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\infty significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta, temos f(x)>M.
  • Pegue um M>0 qualquer. Escolha \delta=\dfrac{1}{M} (note que \delta>0 pois M>0).
  • Se 0<x<\delta=\dfrac{1}{M}, então, como x>0, x<\frac{1}{M}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}>\frac{1}{1/M}=M.Portanto f(x)=\dfrac{1}{x}>M.
  • Como isso vale para todo M>0 com a escolha \delta=1/M, concluímos pela definição que \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty.

Passo 4

Provar que \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty (também passo a passo).
  • A definição: dizer que \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que -\delta<x<0, temos f(x)<-M.
  • Tome M>0 arbitrário e escolha \delta=\dfrac{1}{M} (novamente \delta>0).
  • Se -\delta < x < 0, então |x|<\delta=\dfrac{1}{M}. Logo \dfrac{1}{|x|}>M.
  • Como x<0 temos \dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{|x|}, então \frac{1}{x} = -\frac{1}{|x|} < -M.
  • Assim, para todo M>0 existe \delta=1/M tal que -\delta<x<0 implica 1/x<-M. Pelas definições, concluímos \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 5

Outras propriedades úteis para o esboço (continuidade e comportamento longe de 0).
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo ponto x_0\neq 0 (porque é quociente de funções contínuas com denominador não nulo).
  • Limites quando x\to\pm\infty: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 e \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. Isso mostra que há uma assíntota horizontal y=0 ao longe.
  • Portanto o gráfico tem duas “ramificações”: uma para x>0 (positiva) que vai para +\infty quando x\to 0^{+} e tende a 0^{+} quando x\to+\infty; outra para x<0 (negativa) que vai para -\infty quando x\to 0^{-} e tende a 0^{-} quando x\to -\infty.

Passo 6

Como fazer o esboço à mão — passo a passo prático (muito útil na prova).
  • Desenhe os eixos x e y e marque a reta vertical x=0 como linha tracejada (é a assíntota vertical).
  • Marque também a reta horizontal y=0 como linha tracejada (assíntota horizontal ao infinito).
  • Para o ramo x>0:
    • Calcule alguns pontos fáceis: \left(1,1\right), \left(2,\tfrac{1}{2}\right), \left(\tfrac{1}{2},2\right).
    • Ao aproximar x de 0^{+} (por exemplo x=0{,}1) a função fica grande positiva ( 1/0{,}1=10): desenhe a curva subindo muito quando chega perto de x=0 pela direita.
    • Ao ir para a direita, a curva diminui e aproxima de y=0.
  • Para o ramo x<0:
    • Alguns pontos: \left(-1,-1\right), \left(-2,-\tfrac{1}{2}\right), \left(-\tfrac{1}{2},-2\right).
    • Ao aproximar x de 0^{-} (por exemplo x=-0{,}1) a função fica muito negativa ( 1/(-0{,}1)=-10): desenhe a curva caindo muito perto de x=0 pela esquerda.
    • Ao ir para a esquerda, a curva sobe (numericamente, aproxima-se de 0 pela negativa).
  • No desenho, coloque setas nas pontas das curvas para indicar que elas continuam: à direita do ramo positivo a curva tende para y=0, à esquerda do ramo negativo também tende para y=0, e perto de x=0 os ramos vão para \pm\infty.

Passo 7

Comentário final motivador e cheque rápido.
  • Resumindo: f(x)=\dfrac{1}{x} cumpre exatamente \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty e \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\infty. É a escolha mais simples para esboçar a função pedida.
  • Dica amiga: na prova, desenhe primeiro os pontos citados e as duas assíntotas; isso já dá um esboço correto e rápido. Se tiver tempo, explique como escolheu \delta=1/M ao justificar os limites (isso mostra domínio da definição).

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{x}

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