Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): ( 1,0 ). Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite lateral:
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
, aproximando-se pela esquerda (isto é, por valores que se aproximam de ). - Note que para
o denominador é zero, pois ; portanto a função não está definida em . - O numerador em
vale (valor que a expressão do numerador tende quando ).
Passo 2
O que significa uma limite lateral que tende a infinito: quando escrevemos que o limite é
(ou
) queremos dizer que, ao nos aproximarmos de
pela esquerda, os valores da função ficam arbitrariamente grandes em módulo e com sinal negativo (ou positivo). Formalmente, dizer
significa: para todo número
existe
tal que, para
(isto é,
em
), vale
.
Antes de provar, é útil manipular a expressão algébrica para ver o comportamento dominante quando
se aproxima de
.
Passo 3
Fazer uma decomposição algébrica que ajudam a separar a parte que diverge da parte que permanece finita:
Dividindo por
obtemos
Essa escrita é útil porque expõe uma fração
que tende a infinito (ou menos infinito) quando
, mais um termo polinomial
que tende a um número finito quando
.
Passo 4
Analisar os dois termos separadamente quando
:
- O termo polinomial
é contínuo, logo
- O termo
: quando temos com sinal negativo (pois ). Assim o denominador tende a , enquanto o numerador é positivo; portanto a fração tende a . Uma forma muito direta de ver isso é escrever com pequeno; então
Passo 5
Somando as duas partes: a soma de um termo que tende a
com um termo que tende a
(número finito) resulta em
. Em outras palavras,
Portanto a expressão original diverge para menos infinito quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 6
Se quiser uma evidência mais “formal” no estilo definição: dado qualquer
escolha
. Para
(ou seja,
) temos
e portanto
. Escrevendo
,
Como
implica
, segue que
. Isso mostra que para todo
existe
tal que
quando
está em
, o que é exatamente a definição de
.