Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): ( 1,0 ). Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}+1}{x-2}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite lateral:
\lim_{x\to 2^-}\frac{x^{2}+1}{x-2}.
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x=2, aproximando-se pela esquerda (isto é, por valores x<2 que se aproximam de 2).
  • Note que para x=2 o denominador é zero, pois 2-2=0; portanto a função não está definida em x=2.
  • O numerador em x=2 vale 2^{2}+1=5 (valor que a expressão do numerador tende quando x\to2).

Passo 2

O que significa uma limite lateral que tende a infinito: quando escrevemos que o limite é -\infty (ou +\infty) queremos dizer que, ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda, os valores da função ficam arbitrariamente grandes em módulo e com sinal negativo (ou positivo). Formalmente, dizer \lim_{x\to2^-} f(x)=-\infty significa: para todo número M<0 existe \delta>0 tal que, para 0<2-x<\delta (isto é, x em (2-\delta,2)), vale f(x)<M.
Antes de provar, é útil manipular a expressão algébrica para ver o comportamento dominante quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Fazer uma decomposição algébrica que ajudam a separar a parte que diverge da parte que permanece finita:
x^{2}+1 = 5 + (x^{2}-4) = 5 + (x-2)(x+2).
Dividindo por x-2 obtemos
\frac{x^{2}+1}{x-2} = \frac{5}{x-2} + (x+2).
Essa escrita é útil porque expõe uma fração \dfrac{5}{x-2} que tende a infinito (ou menos infinito) quando x\to2, mais um termo polinomial x+2 que tende a um número finito quando x\to2.

Passo 4

Analisar os dois termos separadamente quando x\to2^-:
  • O termo polinomial (x+2) é contínuo, logo
\lim_{x\to2^-}(x+2)=4.
  • O termo \dfrac{5}{x-2}: quando x\to2^- temos x-2\to 0 com sinal negativo (pois x<2). Assim o denominador tende a 0^{-}, enquanto o numerador 5 é positivo; portanto a fração tende a -\infty. Uma forma muito direta de ver isso é escrever x=2-h com h>0 pequeno; então
\frac{5}{x-2}=\frac{5}{-h}=-\frac{5}{h}\to -\infty \quad\text{quando }h\to0^+.

Passo 5

Somando as duas partes: a soma de um termo que tende a -\infty com um termo que tende a 4 (número finito) resulta em -\infty. Em outras palavras,
\lim_{x\to2^-}\left(\frac{5}{x-2}+(x+2)\right) = -\infty + 4 = -\infty.
Portanto a expressão original diverge para menos infinito quando x se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 6

Se quiser uma evidência mais “formal” no estilo definição: dado qualquer M<0 escolha \delta=\min\bigl(1,\dfrac{5}{4-M}\bigr). Para 0<2-x<\delta (ou seja, x\in(2-\delta,2)) temos x>1 e portanto x+2<4. Escrevendo h=2-x\in(0,\delta),
f(x)= -\frac{5}{h}+4-h \le -\frac{5}{h}+4.
Como h<\dfrac{5}{4-M} implica -\dfrac{5}{h}+4<M, segue que f(x)<M. Isso mostra que para todo M<0 existe \delta tal que f(x)<M quando x está em (2-\delta,2), o que é exatamente a definição de \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty.

Resposta

-\infty

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