Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} )
Considere a seguinte proposição:
\text { Se } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \text { então } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}=\inftyã
Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado dá a proposição:
\text{Se }\lim_{n\to\infty} a_n = 0,\\ \text{ então }\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} = \infty.ã
O que é pedido: decidir se essa proposição é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma sequência (a_n) tal que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
  • A proposição afirma que a sequência \bigl(1/a_n\bigr) tende para +\infty.

Passo 2

Vou lembrar formalmente o que significam as duas afirmações (isso ajuda a evitar confusão):
  • Definição de \lim_{n\to\infty} a_n = 0: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-0|=|a_n|<\varepsilon.
Ou seja: os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de 0 quando n é grande.
  • Definição de \lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} = \infty: para todo M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\frac{1}{a_n} > M.
Note que essa última definição pressupõe que \frac{1}{a_n} está bem definida (ou seja, a_n\neq 0 para n grandes) e que os termos \frac{1}{a_n} são positivos a partir de algum índice (para poder serem >M).

Passo 3

Observação importante (condição necessária para a proposição fazer sentido): se uma sequência a_n tem termos iguais a 0 infinitamente muitas vezes, então \tfrac{1}{a_n} não está definida para esses n, e a proposição torna-se mal formulada. Mesmo exigindo que a_n\neq 0 para todo n (ou pelo menos para n grandes), ainda é preciso cuidado com o sinal de a_n: se a_n for negativo em muitos índices, então \tfrac{1}{a_n} será negativo e não pode tender a +\infty.

Passo 4

Para mostrar que a proposição é falsa basta fornecer um contraexemplo: uma sequência (a_n) com \lim_{n\to\infty} a_n = 0 mas tal que \bigl(1/a_n\bigr) não tende a +\infty.
Considere a sequência
a_n = \frac{(-1)^n}{n}\quad\text{para }n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Mostro primeiro que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Para qualquer \varepsilon>0 escolha N\in\mathbb{N} com N>1/\varepsilon. Então, para todo n\ge N,
|a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo, por definição, \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 6

Agora calcule \frac{1}{a_n}:
\frac{1}{a_n} = \frac{1}{(-1)^n/n} = (-1)^n\,n.
Essa sequência alterna entre n (quando n é par) e -n (quando n é ímpar). Assim existem subsequências que tendem a +\infty (por exemplo, n par: \,(-1)^{2k}(2k)=2k\to+\infty) e outras que tendem a -\infty (por exemplo, n ímpar: (-1)^{2k+1}(2k+1)=-(2k+1)\to-\infty). Portanto \bigl(1/a_n\bigr) não converge para +\infty; na verdade diverge de forma oscilante entre valores grandes positivos e grandes negativos.
Formalmente, dado qualquer M>0, não existe N tal que \frac{1}{a_n}>M para todo n\ge N, porque para índices ímpares suficientemente grandes \frac{1}{a_n}=-n\le -M, o que impede a propriedade exigida pela definição de divergência para +\infty.

Passo 7

Conclusão do contraexemplo: (a_n) satisfaz \lim_{n\to\infty} a_n=0 mas \lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} não é +\infty. Logo a proposição dada é falsa.

Passo 8

Comentário final útil para a prova (motivacional): a implicação fica verdadeira se for acrescentada a hipótese de que, além de a_n\to 0, todos os a_n são positivos a partir de algum índice (isto é, existe N com a_n>0 para todo n\ge N). Nesse caso, usando a definição, para qualquer M>0 escolha \varepsilon=1/M e pegue N tal que |a_n|<\varepsilon para n\ge N; então 0<a_n<1/M e portanto 1/a_n>M para todo n\ge N, o que mostra \lim_{n\to\infty} 1/a_n=+\infty. Ou seja: sem controle do sinal (ou sem garantir a_n\neq0 eventualmente) a afirmação original é falsa.

Resposta

Falsa.

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