Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} )
Considere a seguinte proposição:
Se a_{n} é uma sequência tal que todos os seus termos a_{n}(n \geq 1) são aproximações para 7, \overline{2} com erro menor do que 10^{-4}, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=7, \overline{2}.
Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: para toda n\ge 1 vale
|a_{n}-7,\overline{2}|<10^{-4}.
A pergunta é decidir se a proposição "então \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=7,\overline{2}" é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.

Passo 2

Vou lembrar o que significam as expressões usadas (com calma, passo a passo):
  • "Todos os termos a_n são aproximações para 7,\overline{2} com erro menor do que 10^{-4}" significa matematicamente que, para todo n,
|a_n-7,\overline{2}|<10^{-4}.
  • A definição de limite de uma sequência: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Ou seja, os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L quando n é grande o suficiente.
Observação importante (intuição): a hipótese do enunciado dá apenas um limite fixo de proximidade (uma “faixa” ao redor de 7,\overline{2} de raio 10^{-4}) que vale para todos os n. Mas a definição de limite exige que essa proximidade seja possível para qualquer raio \varepsilon>0 (cada vez menor), eventualmente para todos os n a partir de algum índice. Essas duas coisas são diferentes — um simples limite fixo de erro não garante que a distância vá a zero.

Passo 3

Vou construir um contraexemplo simples que satisfaz a hipótese do enunciado, mas que não converge a 7,\overline{2}.
Primeiro escrevo 7,\overline{2} como número racional:
7,\overline{2}=\frac{65}{9}.
Defino a sequência (a_n) por
a_n=\frac{65}{9}+(-1)^n\cdot 5\cdot 10^{-5}.
Isso significa que os termos alternam entre
a_{2k}=\frac{65}{9}+5\cdot 10^{-5} \qquad\text{e}\qquad a_{2k+1}=\frac{65}{9}-5\cdot 10^{-5}.

Passo 4

Verifico que essa sequência satisfaz a hipótese do enunciado. Para todo n,
\bigl|a_n-\tfrac{65}{9}\bigr|=5\cdot 10^{-5}<10^{-4},
portanto cada termo é uma aproximação de 7,\overline{2} com erro menor que 10^{-4}, como exigido.

Passo 5

Agora mostro que (a_n) não converge para 7,\overline{2} (nem para nenhum outro número). Note que os dois valores para os quais a sequência alterna são distintos; a diferença entre eles é
\bigl(\tfrac{65}{9}+5\cdot10^{-5}\bigr)-\bigl(\tfrac{65}{9}-5\cdot10^{-5}\bigr)=10^{-4}>0.
Considere \varepsilon=2\cdot10^{-5} (qualquer \varepsilon<5\cdot10^{-5} serve). Para qualquer N existe n\ge N tal que a_n=\tfrac{65}{9}+5\cdot10^{-5} e existe outro m\ge N tal que a_m=\tfrac{65}{9}-5\cdot10^{-5}. Em particular, para esses índices
\bigl|a_n-\tfrac{65}{9}\bigr|=5\cdot10^{-5}>\varepsilon,
logo não existe N que garanta |a_k-\tfrac{65}{9}|<\varepsilon para todo k\ge N. Pela definição de limite, isso mostra que \lim_{n\to\infty}a_n\neq\tfrac{65}{9}.
Outra forma de ver é observar que as subsequências de índices pares e ímpares convergem a dois limites distintos ( \tfrac{65}{9}+5\cdot10^{-5} e \tfrac{65}{9}-5\cdot10^{-5}), portanto a sequência inteira não converge.

Passo 6

Conclusão: a hipótese do enunciado (todos os termos estarem a menos de 10^{-4} de 7,\overline{2}) não é suficiente para garantir que a_n tenda a 7,\overline{2}. A proposição é, portanto, falsa; o contraexemplo acima justifica isso.

Resposta

Falsa.

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