Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} )
Considere a seguinte proposição:
Se a_{n} é uma sequência tal que todos os seus termos a_{n}(n \geq 1) são aproximações para 7, \overline{2} com erro menor do que 10^{-4}, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=7, \overline{2}.
Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: para toda n\ge 1 vale
|a_{n}-7,\overline{2}|<10^{-4}.
A pergunta é decidir se a proposição "então \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=7,\overline{2}" é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
Passo 2
Vou lembrar o que significam as expressões usadas (com calma, passo a passo):
"Todos os termos a_n são aproximações para 7,\overline{2} com erro menor do que 10^{-4}" significa matematicamente que, para todo n,
|a_n-7,\overline{2}|<10^{-4}.
A definição de limite de uma sequência: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Ou seja, os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L quando n é grande o suficiente.
Observação importante (intuição): a hipótese do enunciado dá apenas um limite fixo de proximidade (uma “faixa” ao redor de 7,\overline{2} de raio 10^{-4}) que vale para todos os n. Mas a definição de limite exige que essa proximidade seja possível para qualquer raio \varepsilon>0 (cada vez menor), eventualmente para todos os n a partir de algum índice. Essas duas coisas são diferentes — um simples limite fixo de erro não garante que a distância vá a zero.
Passo 3
Vou construir um contraexemplo simples que satisfaz a hipótese do enunciado, mas que não converge a 7,\overline{2}.
Primeiro escrevo 7,\overline{2} como número racional:
portanto cada termo é uma aproximação de 7,\overline{2} com erro menor que 10^{-4}, como exigido.
Passo 5
Agora mostro que (a_n) não converge para 7,\overline{2} (nem para nenhum outro número). Note que os dois valores para os quais a sequência alterna são distintos; a diferença entre eles é
Considere \varepsilon=2\cdot10^{-5} (qualquer \varepsilon<5\cdot10^{-5} serve). Para qualquer N existe n\ge N tal que a_n=\tfrac{65}{9}+5\cdot10^{-5} e existe outro m\ge N tal que a_m=\tfrac{65}{9}-5\cdot10^{-5}. Em particular, para esses índices
logo não existe N que garanta |a_k-\tfrac{65}{9}|<\varepsilon para todo k\ge N. Pela definição de limite, isso mostra que \lim_{n\to\infty}a_n\neq\tfrac{65}{9}.
Outra forma de ver é observar que as subsequências de índices pares e ímpares convergem a dois limites distintos (\tfrac{65}{9}+5\cdot10^{-5} e \tfrac{65}{9}-5\cdot10^{-5}), portanto a sequência inteira não converge.
Passo 6
Conclusão: a hipótese do enunciado (todos os termos estarem a menos de 10^{-4} de 7,\overline{2}) não é suficiente para garantir que a_n tenda a 7,\overline{2}. A proposição é, portanto, falsa; o contraexemplo acima justifica isso.