Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} )
Considere a seguinte proposição:
\text { Se } a_{n} \rightarrow \infty \text { e } b_{n} \rightarrow \infty, \text { então } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0ã
Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dados: a_n \rightarrow \infty e b_n \rightarrow \infty, isto é, ambas as sequências divergem para +\infty.
  • Pedir: decidir se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{Se } a_{n} \rightarrow \infty \text{ e } b_{n} \rightarrow \infty,\\ \text{então}\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0.ã
Ou seja, decidir se sempre que duas sequências tendem a +\infty a diferença entre elas necessariamente tende a 0. É preciso justificar a decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significam as coisas (passo-a-passo, sem pular):
  • Definição de a_n \rightarrow \infty: significa que para todo número real M>0 existe N tal que, para todo n\ge N, a_n > M. Em palavras: os termos de a_n ficam arbitrariamente grandes, vão sem limite para +\infty.
  • Análogo para b_n \rightarrow \infty.
  • Definição de \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0: significa que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |a_n-b_n|<\varepsilon. Em palavras: a diferença tende a zero se os termos ficam cada vez mais próximos entre si, até qualquer precisão escolhida.
Essas definições mostram que, embora ambas as sequências possam crescer sem limite, isso não impõe automaticamente restrição sobre a diferença entre elas — a diferença pode ser pequena, constante, grande positivo ou grande negativo.

Passo 3

Antes de mostrar um contraexemplo, um pouco de intuição: é verdade que, em alguns casos, quando a_n e b_n são exatamente iguais (por exemplo a_n=b_n=n), então a_n-b_n=0 e a diferença tende a 0. Mas a proposição afirma que isso ocorre sempre, para quaisquer duas sequências que vão para +\infty. Para invalidar a proposição basta apresentar um contraexemplo: duas sequências que tendem a +\infty cuja diferença tem limite diferente de 0.

Passo 4

Constrói-se um contraexemplo simples. Defina, para todo n,
a_n = n,\qquad b_n = n+1.
  • Claramente a_n \rightarrow \infty porque n cresce sem limite.
  • Claramente b_n \rightarrow \infty porque n+1 também cresce sem limite.
    Agora calcule a diferença:
a_n - b_n = n - (n+1) = -1
para todo n. Então \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = -1, que não é 0. Isso mostra que a proposição dada é falsa: existem duas sequências que tendem a +\infty cuja diferença não tende a 0.

Passo 5

Para reforçar a ideia, apresento outro tipo de exemplo (mostra que a diferença pode até divergir): tome
a_n = n^2,\qquad b_n = n.
Então a_n\rightarrow\infty e b_n\rightarrow\infty, mas
a_n - b_n = n^2 - n = n(n-1)\rightarrow\infty,
logo a diferença não só não tende a 0, como tende a +\infty. Esses exemplos deixam claro que não há uma regra geral que force a diferença a ser 0.

Passo 6

Agora uma nota didática sobre quando a diferença realmente tende a 0. Para que \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0 seja verdadeiro, é necessário (e suficiente) que a_n e b_n sejam assintoticamente iguais no sentido de que a diferença entre eles vá para zero; em notação breve diz-se que
a_n - b_n \to 0\quad\text{ou}\quad b_n = a_n + o(1).
Um exemplo de duas sequências que vão para +\infty e cuja diferença vai para 0 é
a_n = n,\qquad b_n = n + \tfrac{1}{n}.
Aqui a_n\to\infty, b_n\to\infty e
a_n - b_n = -\tfrac{1}{n}\to 0.
Portanto é possível, mas não obrigatório: depende da relação precisa entre os termos das sequências.

Passo 7

Resumo lógico: a proposição afirma que algo vale para todo par de sequências que divergem para +\infty. Um único contraexemplo é suficiente para refutar essa afirmação. O exemplo do Passo 4 ( a_n=n,\\ b_n=n+1 ) é um contraexemplo válido e completamente justificado, logo a proposição é falsa.

Resposta

Falsa.

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