Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): ( \mathbf{1 , 5} ) Faça um esboço do gráfico de uma função f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} com as seguintes propriedades:
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1 \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de uma função f:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R} que satisfaça as duas condições
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to \infty} f(x) = 1.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é \mathbb{R}-\{0\}, ou seja, a função não está definida em x=0.
  • Os limites nas infinitudes são horizontais: a função deve aproximar-se de y=-1 quando x vai para -\infty e de y=1 quando x vai para +\infty.
  • O enunciado pede um esboço do gráfico e que todas as respostas sejam justificadas.

Passo 2

Estratégia para resolver: é mais fácil construir um exemplo explícito de função que satisfaça as duas condições e depois justificar por cálculo por que os limites são os desejados. Vou escolher funções que têm assíntotas horizontais em \pm1 e então simplesmente não as definir em x=0 (para obedecer ao domínio). Vou explicar passo a passo por que a função escolhida tem os limites pedidos e como desenhar o esboço.

Passo 3

Escolha e definição de um exemplo conveniente. Uma escolha muito comum e simples de analisar é a função hiperbólica tangente. Defina
f(x)=\operatorname{tanh}(x)\quad\text{para }x\neq0,
e deixe f indefinida em x=0 (isso garante domínio \mathbb{R}-\{0\}). Lembrando a identidade
\operatorname{tanh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to\infty}\operatorname{tanh}(x) e \lim_{x\to-\infty}\operatorname{tanh}(x) e justificar. Usando a forma \operatorname{tanh}(x)=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}:
  • Para x\to\infty temos e^{-2x}\to0. Assim
\lim_{x\to\infty}\operatorname{tanh}(x)=\frac{1-0}{1+0}=1.
  • Para x\to-\infty note que e^{-2x}=e^{2|x|} explode, mas é mais prático reescrever
\operatorname{tanh}(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
ou observar que para x\to-\infty temos e^{2x}\to0, então
\lim_{x\to-\infty}\operatorname{tanh}(x)=\frac{0-1}{0+1}=-1.
Portanto \operatorname{tanh}(x) (quando restrita a x\neq0) satisfaz exatamente as duas condições de limite.

Passo 5

Comportamento em x=0 e continuidade. Sabendo que \lim_{x\to0}\operatorname{tanh}(x)=0, se deixamos a função indefinida em 0 temos uma descontinuidade removível (um “buraco”) em x=0. Isso respeita o domínio pedido ( \mathbb{R}-\{0\}). Em particular, a função é contínua e estritamente crescente em cada um dos intervalos (-\infty,0) e (0,\infty) — isto pode ser visto porque
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}(x)=\operatorname{sech}^2(x)>0
para todo x, o que mostra que a curva é em forma de “S” monótona.

Passo 6

Descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova). Passos práticos para desenhar:
  • Trace duas linhas horizontais tracejadas: y=-1 e y=1 (são assíntotas horizontais).
  • Para x muito negativo, a curva fica muito próxima de y=-1 e sobe lentamente à medida que x aumenta.
  • A curva é em forma de S crescente: aproxima-se de -1 à esquerda, sobe atravessando valores negativos para perto de 0 quando x está perto de 0, e aproxima-se de 1 à direita.
  • Como a função não está definida em x=0, faça um pequeno círculo aberto (buraco) no ponto onde \operatorname{tanh}(x) estaria (esse ponto estaria na altura y=0 quando x=0); não coloque ponto fechado.
  • Em (-\infty,0) e em (0,\infty) a curva é suave e crescente, aproximando-se das assíntotas nas extremidades.

Passo 7

Alternativa algébrica simples (opção sem hiperbólicas). Outra função fácil de trabalhar é
g(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\quad\text{para }x\neq0,
deixando g indefinida em 0. Justificativa rápida dos limites: ao dividir numerador e denominador por |x| obtém-se para x\to\infty
g(x)=\frac{x/|x|}{\sqrt{1/x^{2}+1}}\to\frac{1}{1}=1,
e para x\to-\infty análoga obtenção leva a -1. O esboço é também uma curva em S com assíntotas horizontais y=\pm1 e um buraco em x=0.

Passo 8

Resumo do que foi feito e por que atende ao enunciado. Tanto f(x)=\operatorname{tanh}(x) quanto g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}, quando restritas a x\neq0, têm
\lim_{x\to -\infty} = -1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty} = 1,
são fáceis de esboçar (curvas em S) e obedecem ao domínio \mathbb{R}-\{0\} porque ficam indefinidas em x=0. Por isso qualquer uma dessas escolhas fornece o esboço pedido; as justificativas dos limites foram apresentadas acima.

Resposta

Um exemplo: f(x)=\operatorname{tanh}(x) para x\neq0 (indefinida em 0). Este f satisfaz \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1 e \lim_{x\to\infty}f(x)=1, tem assíntotas horizontais y=-1 e y=1 e apresenta um buraco em x=0.

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