Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): (
) Faça um esboço do gráfico de uma função
com as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de uma função
que satisfaça as duas condições
Informações relevantes dadas:
- O domínio é
, ou seja, a função não está definida em . - Os limites nas infinitudes são horizontais: a função deve aproximar-se de
quando vai para e de quando vai para . - O enunciado pede um esboço do gráfico e que todas as respostas sejam justificadas.
Passo 2
Estratégia para resolver: é mais fácil construir um exemplo explícito de função que satisfaça as duas condições e depois justificar por cálculo por que os limites são os desejados. Vou escolher funções que têm assíntotas horizontais em
e então simplesmente não as definir em
(para obedecer ao domínio). Vou explicar passo a passo por que a função escolhida tem os limites pedidos e como desenhar o esboço.
Passo 3
Escolha e definição de um exemplo conveniente. Uma escolha muito comum e simples de analisar é a função hiperbólica tangente. Defina
e deixe
indefinida em
(isso garante domínio
). Lembrando a identidade
Passo 4
Calcular
e
e justificar. Usando a forma
:
- Para
temos . Assim
- Para
note que explode, mas é mais prático reescrever
ou observar que para
temos
, então
Portanto
(quando restrita a
) satisfaz exatamente as duas condições de limite.
Passo 5
Comportamento em
e continuidade. Sabendo que
, se deixamos a função indefinida em
temos uma descontinuidade removível (um “buraco”) em
. Isso respeita o domínio pedido (
). Em particular, a função é contínua e estritamente crescente em cada um dos intervalos
e
— isto pode ser visto porque
para todo
, o que mostra que a curva é em forma de “S” monótona.
Passo 6
Descrição do esboço do gráfico (como desenhar na prova). Passos práticos para desenhar:
- Trace duas linhas horizontais tracejadas:
e (são assíntotas horizontais). - Para
muito negativo, a curva fica muito próxima de e sobe lentamente à medida que aumenta. - A curva é em forma de S crescente: aproxima-se de
à esquerda, sobe atravessando valores negativos para perto de quando está perto de , e aproxima-se de à direita. - Como a função não está definida em
, faça um pequeno círculo aberto (buraco) no ponto onde estaria (esse ponto estaria na altura quando ); não coloque ponto fechado. - Em
e em a curva é suave e crescente, aproximando-se das assíntotas nas extremidades.
Passo 7
Alternativa algébrica simples (opção sem hiperbólicas). Outra função fácil de trabalhar é
deixando
indefinida em
. Justificativa rápida dos limites: ao dividir numerador e denominador por
obtém-se para
e para
análoga obtenção leva a
. O esboço é também uma curva em S com assíntotas horizontais
e um buraco em
.
Passo 8
Resumo do que foi feito e por que atende ao enunciado. Tanto
quanto
, quando restritas a
, têm
são fáceis de esboçar (curvas em S) e obedecem ao domínio
porque ficam indefinidas em
. Por isso qualquer uma dessas escolhas fornece o esboço pedido; as justificativas dos limites foram apresentadas acima.
Resposta
Um exemplo:
para
(indefinida em
). Este
satisfaz
e
, tem assíntotas horizontais
e
e apresenta um buraco em
.