Questão 3 - Um laboratório de engenharia elétrica utiliza um sistema de resfriamento hidráulico com água para dissipação de calor em servidores de alta performance. A bomba precisa transportar água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) de um reservatório inferior até um trocador de calor a 8 metros de altura, com um comprimento total de 25 metros de tubulação.
A tubulação tem diâmetro de 2 ", é de PVC, e contém:
  • 2 válvulas globo
  • 4 cotovelos 90^{\circ}
A velocidade média na tubulação é 3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Calcule:
a) A perda de carga total do sistema;
b) A potência mínima da bomba (em hp), considerando rendimento de 75 \%.

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga total (elevação estática + perdas em tubulação) ao bombear água de densidade \rho=1000\rm\\ kg/m^3 a 8\rm\\ m de altura, por L=25\rm\\ m de tubo de diâmetro D=2''=0{,}0508\rm\\ m com velocidade V=3{,}2\rm\\ m/s, contendo 2 válvulas globo e 4 cotovelos de 90^\circ. Depois, com rendimento \eta=75\%, calcular a potência mínima da bomba em hp. Usaremos:
  1. Número de Reynolds e fator de atrito f (Swamee–Jain).
  2. Equação de Darcy–Weisbach para perda de carga majoritária
  3. soma de perdas localizadas h_m=\sum K\,V^2/(2g)
  4. potência hidráulica e potência de eixo P=P_{\rm hid}/\eta, convertendo para hp.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds e o fator de atrito.
A viscosidade cinemática da água é \nu\approx1\times10^{-6}\rm\\ m^2/s, logo
\mathrm{Re}=\frac{V\,D}{\nu} =\frac{3{,}2\cdot0{,}0508}{1\times10^{-6}} \approx1{,}63\times10^{5}.
Para PVC usa-se rugosidade \epsilon\approx1{,}5\times10^{-6}\rm\\ m, ou \epsilon/D\approx2{,}95\times10^{-5}. Pelo Swamee–Jain:
f = 0.25\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\epsilon/D}{3.7}+\frac{5.74}{\mathrm{Re}^{0.9}}\Bigr)\biggr]^{-2} \approx0{,}0165.

Passo 3

Perda de carga majoritária pelo Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L\,V^2}{2g\,D}.
Substituindo f=0{,}0165, L=25\rm\\ m, V=3{,}2\rm\\ m/s, D=0{,}0508\rm\\ m, g=9{,}81\rm\\ m/s^2:
h_f \approx0{,}0165\;\frac{25\cdot(3{,}2)^2}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}0508} \approx4{,}23\rm\\ m.

Passo 4

Perdas localizadas: K-valores típicos são K_{\rm globo}\approx10 cada e K_{\rm cot}\approx0{,}3 cada.
Total de K:
K_{\rm tot}=2\cdot10+4\cdot0{,}3=20+1{,}2=21{,}2.
Logo
h_m = K_{\rm tot}\,\frac{V^2}{2g} =21{,}2\;\frac{(3{,}2)^2}{2\cdot9{,}81} \approx11{,}07\rm\\ m.

Passo 5

Cabeça total elevatória e de perda de carga:
H = z + h_f + h_m =8 + 4{,}23 + 11{,}07 \approx23{,}30\rm\\ m.

Passo 6

Vazão e potência da bomba.
Área da seção: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}\approx \frac{\pi(0{,}0508)^2}{4}\approx0{,}00203\rm\\ m^2.
Q = A\,V \approx0{,}00203\cdot3{,}2 \approx0{,}00650\rm\\ m^3/s.
Potência hidráulica:
P_{\rm hid}=\rho\,g\,Q\,H =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}00650\cdot23{,}30 \approx1485\rm\\ W.
Com \eta=0{,}75, potência de eixo
P = \frac{P_{\rm hid}}{\eta}\approx\frac{1485}{0{,}75}\approx1980\rm\\ W.
Convertendo para hp 1\rm\\ hp=745,7\\ W:
P\approx\frac{1980}{745{,}7}\approx2{,}65\rm\\ hp.

Resposta

a) H\approx23{,}3\rm\\ m
b) P\approx2{,}65\rm\\ hp

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