Questão 5.

Lâmina + Dioptro - Projeto Integrado (Engenharia Química / Elétrica / Física)
Um sistema óptico de monitoramento de pureza de líquidos industriais (semelhante ao utilizado no refino de biodiesel na Bahia) é composto por: (I) uma lâmina de vidro de faces paralelas com \mathbf{n = 1 , 5 0} e \mathbf{e = 5 ~ m m}; seguida de (II) uma interface plana vidro-líquido, onde o líquido tem \mathbf{n} \_\mathbf{L}=\mathbf{1 , 3 6}. O feixe incide na lâmina \operatorname{com} \theta_{1}=30^{\circ} (em relação à normal).
(a) Aplique a Lei de Snell em cada interface do sistema e trace o percurso do raio passo a passo: ar → vidro → ar → líquido.
(b) Verifique se há reflexão total interna na interface vidro-líquido para o ângulo calculado. Calcule o ângulo crítico dessa interface.
(c) Determine o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema.
(d) Discuta como esse sistema pode ser calibrado para distinguir líquidos com diferentes índices de refração (e.g., etanol com \mathrm{n}=1,36 vs. água com \mathrm{n}=1,33 ).
Dados: \operatorname{sen}\left(30^{\circ}\right)=0,500 ; \operatorname{sen}\left(19,5^{\circ}\right) \approx 0,333 ; \cos \left(19,5^{\circ}\right) \approx 0,943 ; \operatorname{arcsen}(0,906) \approx 65,0^{\circ}

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
  • Índices de refração:
    • ar: \,n_{\text{ar}}=1{,}00 (valor padrão assumido)
    • vidro: \,n_{\text{v}}=1{,}50
    • líquido: \,n_{L}=1{,}36
  • Espessura da lâmina de faces paralelas: \,e=5~\text{mm}.
  • Incidência do feixe no primeiro face (ar → vidro): \,\theta_{1}=30^{\circ} (medido em relação à normal).
  • Dados trigonométricos fornecidos (usar quando necessário):
    • \operatorname{sen}(30^{\circ})=0{,}500
    • \operatorname{sen}(19{,}5^{\circ})\approx0{,}333
    • \cos(19{,}5^{\circ})\approx0{,}943
    • \operatorname{arcsen}(0{,}906)\approx65{,}0^{\circ}
O enunciado pede:
(a) aplicar a Lei de Snell em cada interface e traçar o percurso passo a passo: ar → vidro → ar → líquido;
(b) verificar se há reflexão total interna na interface vidro–líquido para o ângulo calculado e calcular o ângulo crítico dessa interface;
(c) determinar o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema;
(d) discutir como calibrar o sistema para distinguir líquidos com índices de refração diferentes (ex.: etanol n=1{,}36 vs água n=1{,}33).

Passo 2

Entendendo e aplicando a Lei de Snell (aulas rápidas):
  • Lei de Snell (forma usada): \,n_i\operatorname{sen}(\theta_i)=n_t\operatorname{sen}(\theta_t).
    Aqui \,n_i é o índice do meio de onde o raio vem, \theta_i é o ângulo de incidência (em relação à normal), n_t é o índice do meio para onde o raio vai, e \theta_t é o ângulo refratado.
  • Vamos aplicar isso na primeira interface (ar \to vidro). Substituindo: n_{\text{ar}}\operatorname{sen}(\theta_{1})=n_{\text{v}}\operatorname{sen}(\theta_{2}).Colocando valores: 1{,}00\cdot\operatorname{sen}(30^{\circ})=1{,}50\cdot\operatorname{sen}(\theta_{2}).Como \operatorname{sen}(30^{\circ})=0{,}500, tem-se \operatorname{sen}(\theta_{2})=\frac{0{,}500}{1{,}50}=0{,}333\overline{3}.
  • Usando o dado fornecido \operatorname{sen}(19{,}5^{\circ})\approx0{,}333, concluímos que \theta_{2}\approx19{,}5^{\circ}.
Explicação didática: isso significa que dentro do vidro o raio se aproxima mais da normal (ângulo menor) porque o vidro tem maior índice.

Passo 3

Comportamento dentro do vidro e saída na segunda face (vidro → ar):
  • A lâmina tem faces paralelas: o raio que entra com ângulo \theta_{2} em relação à normal atinge a segunda face com o mesmo ângulo \theta_{2} (por simetria, dentro do vidro o ângulo relativo à normal não muda durante trânsito reto no meio homogéneo).
  • Agora aplicamos Snell na interface vidro \to ar (saída da lâmina). A equação é n_{\text{v}}\operatorname{sen}(\theta_{2})=n_{\text{ar}}\operatorname{sen}(\theta_{3}),com \theta_{3} ângulo no ar após saída. Substituindo: 1{,}50\cdot 0{,}333\overline{3}=1{,}00\cdot\operatorname{sen}(\theta_{3}) \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}(\theta_{3})=0{,}500.Logo, \theta_{3}=30^{\circ}.
Didática: este é um resultado padrão para lâminas de faces paralelas — o feixe emergente é paralelo ao feixe incidente (mesmo ângulo no ar), embora deslocado lateralmente. Isso acontece porque a segunda refração “reverte” a primeira.

Passo 4

Cálculo do desvio lateral na lâmina (derivação passo a passo):
  • Definição do desvio lateral \,d: distância entre a reta do feixe incidente (se estendida) e a reta do feixe emergente, medida perpendicular às direções dos raios (ou equivalente: a separação paralela às faces). A forma mais prática de calcular é a conhecida expressão para lâmina de faces paralelas: d = e\;\frac{\operatorname{sen}(\theta_{1}-\theta_{2})}{\cos(\theta_{2})}.Vou justificar rapidamente essa fórmula (geometria pura, sem pular etapas):
    • Dentro do vidro o raio percorre uma distância ao longo da direção do raio dada por \,t=\dfrac{e}{\cos(\theta_{2})} (porque e é a projeção na normal e \cos(\theta_{2})=e/t).
    • A componente paralela à face desse percurso é t\operatorname{sen}(\theta_{2})=\dfrac{e\operatorname{sen}(\theta_{2})}{\cos(\theta_{2})}=e\tan(\theta_{2}).
    • Se o feixe não tivesse a lâmina, na mesma distância normal e o feixe incidente em ar teria projeção paralela e\tan(\theta_{1}). A diferença das projeções paralelas é e(\tan\theta_{1}-\tan\theta_{2}). A distância perpendicular entre as linhas dos dois raios (incidente e emergente) é essa diferença multiplicada por \cos(\theta_{1}), o que, com manipulações trigonométricas, leva à fórmula acima equivalente. (Confiar nessa dedução é padrão em óptica geométrica.)
  • Agora aplicamos numericamente. Primeiro calcule o ângulo diferencial: \theta_{1}-\theta_{2}=30^{\circ}-19{,}5^{\circ}=10{,}5^{\circ}.Usamos \operatorname{sen}(10{,}5^{\circ}). Não foi dado diretamente, mas podemos obter numericamente com boa aproximação: \operatorname{sen}(10{,}5^{\circ})\approx0{,}183 (valor tabelado/estimado). Usaremos também \cos(\theta_{2})\approx0{,}943 (dado).
  • Aplicando a fórmula: d = 5~\text{mm}\cdot\frac{0{,}183}{0{,}943}\approx5\cdot0{,}194\approx0{,}97~\text{mm}.
Interpretação amigável: a lâmina desloca lateralmente o feixe em cerca de um milímetro (menos de 1 mm), mas não muda a direção do feixe no ar.

Passo 5

Refração final ar → líquido (última interface) e ângulo no líquido:
  • Depois de emergir da lâmina o feixe está num ar com ângulo \theta_{3}=30^{\circ} em relação à normal, e encontra a interface ar → líquido. Aplicamos Snell: n_{\text{ar}}\operatorname{sen}(\theta_{3})=n_{L}\operatorname{sen}(\theta_{4}).Substituindo números: 1{,}00\cdot\operatorname{sen}(30^{\circ})=1{,}36\cdot\operatorname{sen}(\theta_{4}) \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}(\theta_{4})=\frac{0{,}500}{1{,}36}\approx0{,}36765.
  • Calculemos o ângulo \theta_{4} (no líquido). A inversa de seno de 0{,}36765 dá aproximadamente \theta_{4}\approx21{,}6^{\circ}.
Didática: como o líquido tem índice maior que o ar, o feixe se aproxima da normal ao entrar nele; o ângulo caiu de 30^{\circ} (ar) para cerca de 21{,}6^{\circ} (líquido).

Passo 6

Desvio angular total acumulado ao longo do sistema (definição e cálculo):
  • Definição usada aqui: desvio angular total é a diferença entre a direção inicial do feixe (no ar, antes de qualquer interação) e a direção final do feixe dentro do líquido, medida em graus.
  • Inicial: \theta_{\text{inicial}}=30^{\circ} (no ar antes da lâmina). Final: \theta_{\text{final}}=\theta_{4}\approx21{,}6^{\circ} (no líquido).
  • Portanto o desvio angular total em módulo é \Delta\theta=30^{\circ}-21{,}6^{\circ}=8{,}4^{\circ}.
Sinal e interpretação: o feixe foi “desviado” 8{,}4^{\circ} em direção à normal (isto é, ficou mais próximo da normal no final).

Passo 7

Verificação de reflexão total interna (TIR) na interface vidro–líquido e cálculo do ângulo crítico:
  • Condição para TIR: ocorre se o raio está indo do meio mais refringente ( n_{1} maior) para um menos refringente ( n_{2} menor) e o ângulo de incidência \theta_{i} (no meio de maior índice) satisfaz \operatorname{sen}(\theta_{i})>\dfrac{n_{2}}{n_{1}}. O ângulo crítico \theta_{c} é \theta_{c}=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right).
  • Para a interface vidro ( n_{1}=1{,}50) → líquido ( n_{2}=1{,}36) temos \frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{1{,}36}{1{,}50}\approx0{,}906\ldotsPelo dado do enunciado \operatorname{arcsen}(0{,}906)\approx65{,}0^{\circ}. Logo \theta_{c}\approx65{,}0^{\circ}.
  • Qual é o ângulo de incidência na interface vidro–líquido a ser testado? Se a interface vidro–líquido estivesse à face interna da lâmina, o ângulo no vidro a essa interface seria \theta_{2}\approx19{,}5^{\circ} (calculado no Passo 2). Comparar: \theta_{2}=19{,}5^{\circ}\quad\ll\quad\theta_{c}=65{,}0^{\circ}.
  • Conclusão: não ocorre reflexão total interna para o ângulo calculado — pois 19{,}5^{\circ}<65{,}0^{\circ}. (Para TIR precisaríamos de ângulo no vidro maior que 65^{\circ}.)

Passo 8

Discussão didática e proposta de calibração para distinguir líquidos (ex.: etanol n=1{,}36 vs água n=1{,}33):
  • Princípio usado: a direção do feixe no líquido \theta_{4} depende de n_{L} via Snell: \operatorname{sen}(\theta_{4})=\frac{n_{\text{ar}}\operatorname{sen}(\theta_{3})}{n_{L}}=\frac{\operatorname{sen}(30^{\circ})}{n_{L}}=\frac{0{,}500}{n_{L}}.Portanto pequenas variações em n_{L} produzem variações em \theta_{4} mensuráveis.
  • Exemplo numérico comparativo (usar para calibrar e estimar sensibilidade):
    • Para etanol (n_{L}=1{,}36) já calculamos \theta_{4}\approx21{,}6^{\circ}.
    • Para água (n_{L}=1{,}33): \operatorname{sen}(\theta_{4,\text{água}})=\frac{0{,}500}{1{,}33}\approx0{,}37594 \quad\Rightarrow\quad \theta_{4,\text{água}}\approx22{,}1^{\circ}.ááDiferença angular aproximada: \Delta\theta_{(\text{água-etanol})}\approx22{,}1^{\circ}-21{,}6^{\circ}=0{,}5^{\circ}.á
    • Em termos práticos de detecção: essa diferença de \approx0{,}5^{\circ} corresponde a uma diferença de posição numa tela/detector situada a uma distância L da interface dada por \Delta x \approx L\cdot\Delta\theta (ângulo em radianos). Convertendo 0{,}5^{\circ}\approx0{,}00873 rad, para L=1~\text{m} tem-se \Delta x\approx8{,}7~\text{mm}. Isso é facilmente mensurável com detectores simples ou câmeras.
  • Estratégias de calibração e medição concretas:
    1. medir a posição do feixe emergente em um detector a distância conhecida L e converter posição em ângulo; comparar com curva calibrada \theta_{4}(n_{L});
    2. medir intensidade/reflexão: o coeficiente de reflexão de Fresnel na interface ar–líquido ou vidro–líquido muda com n_{L} e com o ângulo; para ângulos próximos ao crítico pequenas mudanças em n alteram fortemente a potência refletida — usar medição de potência refletida como sensor;
    3. aproximar sensibilidade multiplicando distância do detector pela diferença angular prevista (como o cálculo acima) para escolher L e resolução do detector adequados;
    4. para aumentar sensibilidade, usar um ângulo de incidência maior (mas sem atingir o crítico) ou técnicas interferométricas/posicionais que amplifiquem pequenas variações angulares.
  • Em resumo: com a geometria dada, a diferença \approx0{,}5^{\circ} entre água e etanol gera deslocamentos da ordem de centímetros por alguns metros de percurso, portanto uma calibração por posição angular é prática e direta.

Resposta

(a) Ângulos ao longo do trajeto: \theta_{1}=30^{\circ} (ar, incidente) \to \theta_{2}\approx19{,}5^{\circ} (no vidro) \to \theta_{3}=30^{\circ} (ar, após a lâmina) \to \theta_{4}\approx21{,}6^{\circ} (no líquido).
(b) Não há reflexão total interna para o ângulo calculado. Ângulo crítico da interface vidro–líquido: \theta_{c}=\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{1{,}36}{1{,}50}\right)\approx65{,}0^{\circ}.
(c) Desvio lateral na lâmina: d\approx0{,}97~\text{mm}. Desvio angular total (entre direção inicial no ar e direção final no líquido): \Delta\theta\approx8{,}4^{\circ} (o feixe aproxima-se da normal).
(d) Calibração prática: medir o ângulo/posição do feixe no líquido (ou potência refletida); etanol ( n=1{,}36) dá \theta_{4}\approx21{,}6^{\circ}, água ( n=1{,}33) dá \theta_{4}\approx22{,}1^{\circ} — diferença \approx0{,}5^{\circ}, que corresponde a \sim8{,}7~\text{mm} de deslocamento a 1~\text{m} do ponto de saída, portanto detectável e calibrável.

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