Questão 5.
Lâmina + Dioptro - Projeto Integrado (Engenharia Química / Elétrica / Física)
Um sistema óptico de monitoramento de pureza de líquidos industriais (semelhante ao utilizado no refino de biodiesel na Bahia) é composto por: (I) uma lâmina de vidro de faces paralelas com
e
; seguida de (II) uma interface plana vidro-líquido, onde o líquido tem
. O feixe incide na lâmina
(em relação à normal).
(a) Aplique a Lei de Snell em cada interface do sistema e trace o percurso do raio passo a passo: ar → vidro → ar → líquido.
(b) Verifique se há reflexão total interna na interface vidro-líquido para o ângulo calculado. Calcule o ângulo crítico dessa interface.
(c) Determine o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema.
(d) Discuta como esse sistema pode ser calibrado para distinguir líquidos com diferentes índices de refração (e.g., etanol com
vs. água com
).
Dados:
Um sistema óptico de monitoramento de pureza de líquidos industriais (semelhante ao utilizado no refino de biodiesel na Bahia) é composto por: (I) uma lâmina de vidro de faces paralelas com
(a) Aplique a Lei de Snell em cada interface do sistema e trace o percurso do raio passo a passo: ar → vidro → ar → líquido.
(b) Verifique se há reflexão total interna na interface vidro-líquido para o ângulo calculado. Calcule o ângulo crítico dessa interface.
(c) Determine o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema.
(d) Discuta como esse sistema pode ser calibrado para distinguir líquidos com diferentes índices de refração (e.g., etanol com
Dados:
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
- Índices de refração:
- ar:
(valor padrão assumido) - vidro:
- líquido:
- ar:
- Espessura da lâmina de faces paralelas:
. - Incidência do feixe no primeiro face (ar → vidro):
(medido em relação à normal). - Dados trigonométricos fornecidos (usar quando necessário):
-
O enunciado pede:
(a) aplicar a Lei de Snell em cada interface e traçar o percurso passo a passo: ar → vidro → ar → líquido;
(b) verificar se há reflexão total interna na interface vidro–líquido para o ângulo calculado e calcular o ângulo crítico dessa interface;
(c) determinar o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema;
(d) discutir como calibrar o sistema para distinguir líquidos com índices de refração diferentes (ex.: etanol vs água
).
(a) aplicar a Lei de Snell em cada interface e traçar o percurso passo a passo: ar → vidro → ar → líquido;
(b) verificar se há reflexão total interna na interface vidro–líquido para o ângulo calculado e calcular o ângulo crítico dessa interface;
(c) determinar o desvio lateral na lâmina e o desvio angular total acumulado ao longo do sistema;
(d) discutir como calibrar o sistema para distinguir líquidos com índices de refração diferentes (ex.: etanol
Passo 2
Entendendo e aplicando a Lei de Snell (aulas rápidas):
- Lei de Snell (forma usada):
.
Aquié o índice do meio de onde o raio vem, é o ângulo de incidência (em relação à normal), é o índice do meio para onde o raio vai, e é o ângulo refratado. - Vamos aplicar isso na primeira interface (ar
vidro). Substituindo: Colocando valores: Como , tem-se - Usando o dado fornecido
, concluímos que
Explicação didática: isso significa que dentro do vidro o raio se aproxima mais da normal (ângulo menor) porque o vidro tem maior índice.
Passo 3
Comportamento dentro do vidro e saída na segunda face (vidro → ar):
- A lâmina tem faces paralelas: o raio que entra com ângulo
em relação à normal atinge a segunda face com o mesmo ângulo (por simetria, dentro do vidro o ângulo relativo à normal não muda durante trânsito reto no meio homogéneo). - Agora aplicamos Snell na interface vidro
ar (saída da lâmina). A equação é com ângulo no ar após saída. Substituindo: Logo,
Didática: este é um resultado padrão para lâminas de faces paralelas — o feixe emergente é paralelo ao feixe incidente (mesmo ângulo no ar), embora deslocado lateralmente. Isso acontece porque a segunda refração “reverte” a primeira.
Passo 4
Cálculo do desvio lateral na lâmina (derivação passo a passo):
- Definição do desvio lateral
: distância entre a reta do feixe incidente (se estendida) e a reta do feixe emergente, medida perpendicular às direções dos raios (ou equivalente: a separação paralela às faces). A forma mais prática de calcular é a conhecida expressão para lâmina de faces paralelas: Vou justificar rapidamente essa fórmula (geometria pura, sem pular etapas): - Dentro do vidro o raio percorre uma distância ao longo da direção do raio dada por
(porque é a projeção na normal e ). - A componente paralela à face desse percurso é
. - Se o feixe não tivesse a lâmina, na mesma distância normal
o feixe incidente em ar teria projeção paralela . A diferença das projeções paralelas é . A distância perpendicular entre as linhas dos dois raios (incidente e emergente) é essa diferença multiplicada por , o que, com manipulações trigonométricas, leva à fórmula acima equivalente. (Confiar nessa dedução é padrão em óptica geométrica.)
- Dentro do vidro o raio percorre uma distância ao longo da direção do raio dada por
- Agora aplicamos numericamente. Primeiro calcule o ângulo diferencial:
Usamos . Não foi dado diretamente, mas podemos obter numericamente com boa aproximação: (valor tabelado/estimado). Usaremos também (dado). - Aplicando a fórmula:
Interpretação amigável: a lâmina desloca lateralmente o feixe em cerca de um milímetro (menos de 1 mm), mas não muda a direção do feixe no ar.
Passo 5
Refração final ar → líquido (última interface) e ângulo no líquido:
- Depois de emergir da lâmina o feixe está num ar com ângulo
em relação à normal, e encontra a interface ar → líquido. Aplicamos Snell: Substituindo números: - Calculemos o ângulo
(no líquido). A inversa de seno de dá aproximadamente
Didática: como o líquido tem índice maior que o ar, o feixe se aproxima da normal ao entrar nele; o ângulo caiu de
(ar) para cerca de
(líquido).
Passo 6
Desvio angular total acumulado ao longo do sistema (definição e cálculo):
- Definição usada aqui: desvio angular total é a diferença entre a direção inicial do feixe (no ar, antes de qualquer interação) e a direção final do feixe dentro do líquido, medida em graus.
- Inicial:
(no ar antes da lâmina). Final: (no líquido). - Portanto o desvio angular total em módulo é
Sinal e interpretação: o feixe foi “desviado”
em direção à normal (isto é, ficou mais próximo da normal no final).
Passo 7
Verificação de reflexão total interna (TIR) na interface vidro–líquido e cálculo do ângulo crítico:
- Condição para TIR: ocorre se o raio está indo do meio mais refringente (
maior) para um menos refringente ( menor) e o ângulo de incidência (no meio de maior índice) satisfaz . O ângulo crítico é - Para a interface vidro (
) → líquido ( ) temos Pelo dado do enunciado . Logo - Qual é o ângulo de incidência na interface vidro–líquido a ser testado? Se a interface vidro–líquido estivesse à face interna da lâmina, o ângulo no vidro a essa interface seria
(calculado no Passo 2). Comparar: - Conclusão: não ocorre reflexão total interna para o ângulo calculado — pois
. (Para TIR precisaríamos de ângulo no vidro maior que .)
Passo 8
Discussão didática e proposta de calibração para distinguir líquidos (ex.: etanol
vs água
):
- Princípio usado: a direção do feixe no líquido
depende de via Snell: Portanto pequenas variações em produzem variações em mensuráveis. - Exemplo numérico comparativo (usar para calibrar e estimar sensibilidade):
- Para etanol
já calculamos . - Para água
: Diferença angular aproximada: - Em termos práticos de detecção: essa diferença de
corresponde a uma diferença de posição numa tela/detector situada a uma distância da interface dada por (ângulo em radianos). Convertendo rad, para tem-se . Isso é facilmente mensurável com detectores simples ou câmeras.
- Para etanol
- Estratégias de calibração e medição concretas:
- medir a posição do feixe emergente em um detector a distância conhecida
e converter posição em ângulo; comparar com curva calibrada ; - medir intensidade/reflexão: o coeficiente de reflexão de Fresnel na interface ar–líquido ou vidro–líquido muda com
e com o ângulo; para ângulos próximos ao crítico pequenas mudanças em alteram fortemente a potência refletida — usar medição de potência refletida como sensor; - aproximar sensibilidade multiplicando distância do detector pela diferença angular prevista (como o cálculo acima) para escolher
e resolução do detector adequados; - para aumentar sensibilidade, usar um ângulo de incidência maior (mas sem atingir o crítico) ou técnicas interferométricas/posicionais que amplifiquem pequenas variações angulares.
- medir a posição do feixe emergente em um detector a distância conhecida
- Em resumo: com a geometria dada, a diferença
entre água e etanol gera deslocamentos da ordem de centímetros por alguns metros de percurso, portanto uma calibração por posição angular é prática e direta.
Resposta
(a) Ângulos ao longo do trajeto:
(ar, incidente)
(no vidro)
(ar, após a lâmina)
(no líquido).
(b) Não há reflexão total interna para o ângulo calculado. Ângulo crítico da interface vidro–líquido: .
(c) Desvio lateral na lâmina: . Desvio angular total (entre direção inicial no ar e direção final no líquido):
(o feixe aproxima-se da normal).
(d) Calibração prática: medir o ângulo/posição do feixe no líquido (ou potência refletida); etanol ( ) dá
, água (
) dá
— diferença
, que corresponde a
de deslocamento a
do ponto de saída, portanto detectável e calibrável.
(b) Não há reflexão total interna para o ângulo calculado. Ângulo crítico da interface vidro–líquido:
(c) Desvio lateral na lâmina:
(d) Calibração prática: medir o ângulo/posição do feixe no líquido (ou potência refletida); etanol (