Questão 4.

Reflexão Total Interna - Fibra Óptica (Engenharia Elétrica / Mecânica / Física)
Redes de fibra óptica são utilizadas na transmissão de dados em plantas industriais e em sistemas de automação. Uma fibra óptica de núcleo de sílica (n_núcleo =1,46 ) é revestida com um polímero de \mathbf{n} \_revestimento =\mathbf{1 , 4 0}. A luz é injetada no núcleo a partir do ar ( \mathrm{n}=1,00 ).
(a) Calcule o ângulo crítico \theta \_\mathrm{c} para a interface núcleo-revestimento, dado por:
\text { sen }\left(\theta \_c\right)=n \_ \text {revestimento / n_núcleo }ú
(b) Determine a Abertura Numérica (AN) da fibra, que define o cone máximo de aceitação de luz:
A N=\sqrt{ }\left(n \_n u ́ c l e o^{2}-n \_ \text {revestimento }{ }^{2}\right)
(c) Calcule o ângulo de aceitação \theta \_a (ângulo máximo de incidência no ar para que haja guiamento da luz) e discuta como variações no índice de refração do revestimento afetam a eficiência da transmissão.
Dados: \sqrt{ }\left(1,46^{2}-1,40^{2}\right)=\sqrt{ }(0,1716) \approx 0,414 ; \operatorname{arcsen}(0,414) \approx 24,5^{\circ} ; \operatorname{arcsen}(0,959) \approx 73,5^{\circ}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado).
  • Dados:
    • índice do núcleo: n_{\text{núcleo}}=1,46ú
    • índice do revestimento (cladding): n_{\text{revestimento}}=1,40
    • índice do meio externo (ar): n_{\text{ar}}=1,00
  • O enunciado pede:
    (a) calcular o ângulo crítico \theta_c para a interface núcleo–revestimento, usando \displaystyle \sin\!\left(\theta_c\right)=\dfrac{n_{\text{revestimento}}}{n_{\text{núcleo}}}ú;
    (b) determinar a Abertura Numérica (AN) dada por \displaystyle AN=\sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}ú;
    (c) calcular o ângulo de aceitação \theta_a no ar (ângulo máximo de incidência no ar para haver guiamento) e discutir como variações de n_{\text{revestimento}} afetam a eficiência da transmissão.

Passo 2

Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Lei de Snell (refração) relaciona índices e senos dos ângulos em duas mídias: n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,onde n_1 e n_2 são índices e \theta_1,\theta_2 são ângulos medidos em relação à normal.
  • Reflexão total interna (RTI) ocorre quando uma onda vai do meio mais refringente ( n_1 maior) para o menos refringente ( n_2 menor) e o ângulo de incidência interno excede um ângulo crítico \theta_c. Tomando \theta_2=90^\circ em Snell, obtemos: \sin\!\left(\theta_c\right)=\frac{n_2}{n_1}.Aqui, para a interface núcleo–revestimento, n_1=n_{\text{núcleo}}ú e n_2=n_{\text{revestimento}}.
  • Abertura Numérica (AN) define o produto n_{\text{ar}}\sin\!\left(\theta_a\right) e pode ser provada (usando Snell na entrada ar→núcleo e a condição de RTI no núcleo–revestimento) como: AN = n_{\text{ar}}\sin\!\left(\theta_a\right)=\sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}.úExplicando a derivação (passo a passo curto):
    • Na entrada ar→núcleo: n_{\text{ar}}\sin\theta_a = n_{\text{núcleo}}\sin\theta_iú, onde \theta_i é o ângulo dentro do núcleo medido em relação à normal da face de entrada.
    • Para que o raio seja guiado por RTI nas interfaces laterais, o ângulo interno \theta_i deve satisfazer \sin\theta_i \le \cos\theta_c (geometria dos ângulos no núcleo), com \cos\theta_c=\sqrt{1-\sin^2\theta_c}.
    • Substituindo \sin\theta_c = n_{\text{revestimento}}/n_{\text{núcleo}}ú obtém-se \sin\theta_i \le \dfrac{\sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}}{n_{\text{núcleo}}}úú.
    • Multiplicando por n_{\text{núcleo}}ú e usando Snell na entrada chega-se a n_{\text{ar}}\sin\theta_a \le \sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}ú. O caso limite (máxima aceitação) dá a igualdade e define o AN acima.

Passo 3

Cálculo do ângulo crítico \theta_c para núcleo–revestimento:
  • Aplicando a fórmula \displaystyle \sin\!\left(\theta_c\right)=\frac{n_{\text{revestimento}}}{n_{\text{núcleo}}}ú: \sin\!\left(\theta_c\right)=\frac{1,40}{1,46}.
  • Calculemos a razão passo a passo: \dfrac{1,40}{1,46}=\dfrac{140}{146}=\dfrac{70}{73}. Uma aproximação decimal é \sin\!\left(\theta_c\right)\approx 0,9589.
  • Tomando o arco-seno: \theta_c=\arcsin(0,9589)\approx 73,5^\circ.(isto coincide com o valor aproximado fornecido no enunciado \arcsin(0,959)\approx 73,5^\circ.)

Passo 4

Cálculo da Abertura Numérica AN:
  • Usando \displaystyle AN=\sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}ú e substituindo: AN=\sqrt{\,1,46^{2}-1,40^{2}\,}.
  • Calculemos as potências: 1,46^{2}=2,1316 e 1,40^{2}=1,9600. A diferença é 2,1316-1,9600=0,1716.
  • Portanto AN=\sqrt{0,1716}\approx 0,414.(isto coincide com o valor aproximado fornecido no enunciado.)

Passo 5

Cálculo do ângulo de aceitação \theta_a no ar:
  • Por definição AN=n_{\text{ar}}\sin\!\left(\theta_a\right). Como n_{\text{ar}}=1,00, \sin\!\left(\theta_a\right)=AN \approx 0,414.
  • Logo \theta_a=\arcsin(0,414)\approx 24,5^\circ,que é o ângulo máximo de incidência no ar para que o raio seja aceito e guiado pela fibra.

Passo 6

Discussão (como variações de n_{\text{revestimento}} afetam a eficiência)
  • Relação matemática: AN=\sqrt{\,n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}\,}ú. Assim:
    • Se n_{\text{revestimento}} aumenta (ou seja, fica mais próximo de n_{\text{núcleo}}ú), a diferença n_{\text{núcleo}}^{2}-n_{\text{revestimento}}^{2}ú diminui, logo AN diminui e o ângulo de aceitação \theta_a diminui. Consequência prática: o cone de aceitação fica mais estreito, fica mais difícil acoplar luz da fonte para dentro da fibra — menor eficiência de acoplamento.
    • Se n_{\text{revestimento}} diminui (ficando mais baixo em relação ao núcleo), AN aumenta e \theta_a aumenta. Consequência prática: cone de aceitação maior, acoplamento mais fácil e maior tolerância ao alinhamento da fonte.
  • Aspectos práticos e trade-offs:
    • Maior AN (maior diferença de índices) facilita acoplamento e permite aceitar mais modos (em fibras multimodo), mas isso costuma aumentar dispersão modal e reduzir a banda passante em longas distâncias.
    • Menor AN favorece fibras com menos modos ou operação monomodo (quando o diâmetro do núcleo também é pequeno), o que melhora a qualidade do sinal a longa distância (menor dispersão), mas torna o acoplamento mais exigente.
    • Sempre é obrigatório n_{\text{revestimento}}<n_{\text{núcleo}}ú para haver RTI; se n_{\text{revestimento}} se aproximar demais do n_{\text{núcleo}}ú, a proteção por RTI fica frágil e perdas por vazamento aumentam.
  • Em aplicações industriais, a escolha de n_{\text{revestimento}} é um compromisso entre facilidade de acoplamento, tolerância mecânica/alinhamento e requisitos de largura de banda/distância.

Resposta

(a) \theta_c \approx 73,5^\circ
(b) AN \approx 0,414
(c) \theta_a \approx 24,5^\circ

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