Questão 3 - Uma lâmpada à prova d’água está no fundo de uma piscina com água (índice de refração
), a uma distância
abaixo da superfície estática da água. Fixo no teto, a uma altura
acima da superfície, há um espelho plano, com sua face refletora voltada para baixo e paralela à superfície da água. O meio entre o espelho e a superfície tem ar (índice de refração
). Determine a distância
, acima do espelho, em que a imagem da lâmpada se forma. Considere a lâmpada como sendo uma “fonte pontual” e assuma que as distâncias são tais para que o observador veja a imagem da lâmpada sob ângulos (
) de visada pequenos, tais que
.
(VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)
(VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá uma lâmpada pontual situada a uma distância
abaixo da superfície da água (índice de refração
). Há um espelho plano paralelo à superfície, com a face refletora voltada para baixo, fixo no teto a uma altura
acima da superfície. O espaço entre superfície e espelho é ar, com índice de refração
.
O que se pede: determinar a distância , medida acima do espelho, onde a imagem da lâmpada se forma.
Condições importantes fornecidas: ângulos de visada são pequenos, de modo que . Não são fornecidos valores numéricos; queremos a expressão de
em função de
.
O que se pede: determinar a distância
Condições importantes fornecidas: ângulos de visada são pequenos, de modo que
Passo 2
Entendimento físico e estratégia (sem calcular ainda): para o espelho “ver” a lâmpada ele recebe raios que saem da lâmpada, atravessam a superfície água→ar (refratando), atingem o espelho em ar e são refletidos. Na aproximação para pequenos ângulos, a refração na superfície faz com que, para os raios que vão ao espelho, eles pareçam originar-se de um ponto aparente acima da superfície (esse ponto está no ar, e será o objeto visto pelo espelho). Logo a primeira etapa é achar a posição desse ponto aparente (medida a partir da superfície); depois, usar a propriedade do espelho plano (imagem simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho) para obter a posição da imagem criada pelo espelho.
Passo 3
Achar a posição aparente do ponto fonte (lâmpada) vista a partir do ar, usando Snell e a aproximação de pequenos ângulos. Considere um raio que sai da lâmpada, sobe e atinge a superfície em um ponto horizontal a uma distância
do eixo vertical que passa pela lâmpada. No interior da água o ângulo com a vertical satisfaz geometricamente
Após a refração para o ar, o raio em ar faz um ângulo
com a vertical e, supondo que os raios pareçam vir de um ponto aparente a uma distância
acima da superfície (essa é a posição do objeto aparente para quem está no ar), temos geometricamente
Pela Lei de Snell, em forma exata,
Usando a hipótese de pequenos ângulos, aproximamos
e
. Substituindo as expressões geométricas:
Como
(raios fora do eixo), cancelamos
e obtemos
Interpretação: na aproximação para pequenos ângulos, a lâmpada situada a
abaixo da superfície aparece, para quem está no ar, como se estivesse a uma distância
acima da superfície.
Passo 4
Determinar a imagem produzida pelo espelho plano: coloque um eixo vertical com a superfície em
. Então a lâmpada está em
, o ponto aparente (objeto para o espelho) está em
(pegamos o resultado do passo anterior) e o espelho está em
. A distância do espelho até o objeto aparente é
Para um espelho plano, a imagem é simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho, logo a posição da imagem (em coordenada
) é
A distância acima do espelho onde a imagem se forma (isto é, medida a partir do plano do espelho para cima) é, portanto,
Passo 5
Substituindo
encontrado no passo 3 em
:
Comentário físico e condição: como
, temos
, então tipicamente
. Também é necessário que
(ou seja
) para que o objeto aparente realmente fique entre a superfície e o espelho; caso contrário a construção geométrica muda, mas a expressão acima é a que vale sob as hipóteses do enunciado (geometria para pequenos ângulos e objeto aparente entre superfície e espelho).