Questão 3 - Uma lâmpada à prova d’água está no fundo de uma piscina com água (índice de refração n ), a uma distância \ell abaixo da superfície estática da água. Fixo no teto, a uma altura y acima da superfície, há um espelho plano, com sua face refletora voltada para baixo e paralela à superfície da água. O meio entre o espelho e a superfície tem ar (índice de refração n_{0}<n ). Determine a distância D, acima do espelho, em que a imagem da lâmpada se forma. Considere a lâmpada como sendo uma “fonte pontual” e assuma que as distâncias são tais para que o observador veja a imagem da lâmpada sob ângulos ( \varangle ) de visada pequenos, tais que \tan \varangle \approx \sin \varangle.
(VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma lâmpada pontual situada a uma distância \ell abaixo da superfície da água (índice de refração \,n). Há um espelho plano paralelo à superfície, com a face refletora voltada para baixo, fixo no teto a uma altura y acima da superfície. O espaço entre superfície e espelho é ar, com índice de refração \,n_{0}<n.
O que se pede: determinar a distância D, medida acima do espelho, onde a imagem da lâmpada se forma.
Condições importantes fornecidas: ângulos de visada são pequenos, de modo que \tan\varangle \approx \sin\varangle. Não são fornecidos valores numéricos; queremos a expressão de D em função de y,\ell,n,n_{0}.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia (sem calcular ainda): para o espelho “ver” a lâmpada ele recebe raios que saem da lâmpada, atravessam a superfície água→ar (refratando), atingem o espelho em ar e são refletidos. Na aproximação para pequenos ângulos, a refração na superfície faz com que, para os raios que vão ao espelho, eles pareçam originar-se de um ponto aparente acima da superfície (esse ponto está no ar, e será o objeto visto pelo espelho). Logo a primeira etapa é achar a posição desse ponto aparente (medida a partir da superfície); depois, usar a propriedade do espelho plano (imagem simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho) para obter a posição da imagem criada pelo espelho.

Passo 3

Achar a posição aparente do ponto fonte (lâmpada) vista a partir do ar, usando Snell e a aproximação de pequenos ângulos. Considere um raio que sai da lâmpada, sobe e atinge a superfície em um ponto horizontal a uma distância x do eixo vertical que passa pela lâmpada. No interior da água o ângulo com a vertical satisfaz geometricamente
\tan\theta = \frac{x}{\ell}.
Após a refração para o ar, o raio em ar faz um ângulo \theta_{0} com a vertical e, supondo que os raios pareçam vir de um ponto aparente a uma distância s acima da superfície (essa é a posição do objeto aparente para quem está no ar), temos geometricamente
\tan\theta_{0} = \frac{x}{s}.
Pela Lei de Snell, em forma exata,
n\sin\theta = n_{0}\sin\theta_{0}.
Usando a hipótese de pequenos ângulos, aproximamos \sin\theta\approx\tan\theta e \sin\theta_{0}\approx\tan\theta_{0}. Substituindo as expressões geométricas:
n\frac{x}{\ell} \approx n_{0}\frac{x}{s}.
Como x\neq 0 (raios fora do eixo), cancelamos x e obtemos
\frac{n}{\ell} \approx \frac{n_{0}}{s}\quad\Rightarrow\quad s \approx \frac{n_{0}}{n}\,\ell.
Interpretação: na aproximação para pequenos ângulos, a lâmpada situada a \ell abaixo da superfície aparece, para quem está no ar, como se estivesse a uma distância s=\dfrac{n_{0}}{n}\ell acima da superfície.

Passo 4

Determinar a imagem produzida pelo espelho plano: coloque um eixo vertical com a superfície em z=0. Então a lâmpada está em z=-\ell, o ponto aparente (objeto para o espelho) está em z=+s (pegamos o resultado do passo anterior) e o espelho está em z=+y. A distância do espelho até o objeto aparente é
\text{distância objeto–espelho} = y - s.â
Para um espelho plano, a imagem é simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho, logo a posição da imagem (em coordenada z) é
z_{\text{imagem}} = y + (y - s) = 2y - s.
A distância acima do espelho onde a imagem se forma (isto é, medida a partir do plano do espelho para cima) é, portanto,
D = z_{\text{imagem}} - y = y - s.

Passo 5

Substituindo s encontrado no passo 3 em D:
D = y - s \approx y - \frac{n_{0}}{n}\,\ell.
Comentário físico e condição: como n_{0}<n, temos \dfrac{n_{0}}{n}\ell<\ell, então tipicamente D>y-\ell. Também é necessário que s<y (ou seja \dfrac{n_{0}}{n}\ell<y) para que o objeto aparente realmente fique entre a superfície e o espelho; caso contrário a construção geométrica muda, mas a expressão acima é a que vale sob as hipóteses do enunciado (geometria para pequenos ângulos e objeto aparente entre superfície e espelho).

Resposta

D = y - \frac{n_{0}}{n}\,\ell

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