Questão 5 - Lançam-se 2 dados. Seja
a soma das faces.
a) Determinar a distribuição de probabilidade de
;
b) Fazer o gráfico da função de probabilidade de
.
a) Determinar a distribuição de probabilidade de
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Passo 1
Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e as informações que temos (sem resolver ainda).
- O experimento: lançam-se dois dados (assume-se dados justos, ou seja, cada face de cada dado tem probabilidade igual).
- Definição da variável:
é a soma das faces observadas nos dois dados. - Perguntas:
a) Determinar a distribuição de probabilidade de— ou seja, para cada valor possível de encontrar .
b) Fazer o gráfico da função de probabilidade de.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado e hipóteses naturais do problema):
- Cada dado tem faces
. - O espaço amostral dos dois dados contém
resultados equiprováveis. - Portanto, para cada soma
vale .
Passo 2
Estratégia de resolução e conceito principal (explicado passo a passo e sem pular etapas).
- Ideia: calcular, para cada soma possível
, quantos pares ordenados com e satisfazem . Depois dividir esse número por . - Observação útil (padrão muito usado em prova): as somas possíveis vão de
(quando os dois dados mostram ) até (quando os dois mostram ). A quantidade de pares que dão cada soma forma a sequência conhecida correspondente respectivamente às somas . Vou demonstrar por que isso acontece de forma concreta.
Explicação do porquê da sequência:
- Para
: só há o par , então forma favorável. - Para
: pares → formas. - Para
: pares → formas. - Esse número de formas cresce até
(onde há formas: ) e depois diminui simetricamente porque, por exemplo, obter é equivalente a complementar os pares que somam , etc. Essa simetria dá a sequência acima.
Passo 3
Calcular explicitamente o número de casos favoráveis e as probabilidades correspondentes.
Vou listar para cada
o número de pares e a probabilidade
.
- Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: por simetria número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim - Para
: número de pares . Assim
Verificação rápida de consistência: somando todas as probabilidades deve dar
.
Perfeito — as probabilidades estão normalizadas.
Passo 4
Apresentar a distribuição em forma de tabela (útil para prova) — linhas com
e
.
- Valores de
: . - Probabilidades correspondentes:
Dica prática para a prova: decorar a sequência de contagens
para somas de dois dados — resolve muita questão rápido.
Passo 5
Como fazer o gráfico da função de probabilidade (passo a passo para desenhar à mão ou em software simples).
- Eixos: no eixo horizontal marcar os valores
. No eixo vertical marcar probabilidade; é suficiente marcar os valores . - Para cada
desenhar uma barra (histograma/discrete bar) ou um ponto vertical (gráfico de massa pontual) com altura . As alturas são exatamente os valores listados no Passo 4. - Se for desenhar à mão, pode escalar o eixo vertical para que
seja, por exemplo, um centímetro; então será cm — assim as barras ficarão proporcionais e fáceis de desenhar. - Forma visual esperada: uma “montanha” simétrica com pico em
(altura ) e decrescendo simetricamente para as extremidades e (altura ).
Exemplo rápido de representação textual (cada ‘*’ representa uma unidade de
para visualizar proporcionalidade):
Isso te ajuda a desenhar o gráfico rapidamente na folha da prova: eixo
com
a
e barras com as alturas acima.
Resposta
a) (P(X=2)=\dfrac{1}{36},;P(X=3)=\dfrac{2}{36},;P(X=4)=\dfrac{3}{36},;P(X=5)=\dfrac{4}{36},;P(X=6)=\dfrac{5}{36},;P(X=7)=\dfrac{6}{36},;P(X=8)=\dfrac{5}{36},;P(X=9)=\dfrac{4}{36},;P(X=10)=\dfrac{3}{36},;P(X=11)=\dfrac{2}{36},;P(X=12)=\dfrac{1}{36}.
b) Gráfico (pontos/barra):
.)