Questão 5 - Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces.
a) Determinar a distribuição de probabilidade de X;
X
P(X)
b) Fazer o gráfico da função de probabilidade de X.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e as informações que temos (sem resolver ainda).
  • O experimento: lançam-se dois dados (assume-se dados justos, ou seja, cada face de cada dado tem probabilidade igual).
  • Definição da variável: X é a soma das faces observadas nos dois dados.
  • Perguntas:
    a) Determinar a distribuição de probabilidade de X — ou seja, para cada valor possível x de X encontrar P(X=x).
    b) Fazer o gráfico da função de probabilidade de X.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado e hipóteses naturais do problema):
  • Cada dado tem faces 1,2,3,4,5,6.
  • O espaço amostral dos dois dados contém 6\times6=36 resultados equiprováveis.
  • Portanto, para cada soma x vale P(X=x)=\dfrac{\text{nº de pares }(i,j)\text{ com }i+j=x}{36}º.

Passo 2

Estratégia de resolução e conceito principal (explicado passo a passo e sem pular etapas).
  • Ideia: calcular, para cada soma possível x, quantos pares ordenados (i,j) com i\in\{1,\dots,6\} e j\in\{1,\dots,6\} satisfazem i+j=x. Depois dividir esse número por 36.
  • Observação útil (padrão muito usado em prova): as somas possíveis vão de 2 (quando os dois dados mostram 1) até 12 (quando os dois mostram 6). A quantidade de pares que dão cada soma forma a sequência conhecida 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1correspondente respectivamente às somas 2,3,\dots,12. Vou demonstrar por que isso acontece de forma concreta.
Explicação do porquê da sequência:
  • Para X=2: só há o par (1,1), então 1 forma favorável.
  • Para X=3: pares (1,2),(2,1) 2 formas.
  • Para X=4: pares (1,3),(2,2),(3,1) 3 formas.
  • Esse número de formas cresce até X=7 (onde há 6 formas: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)) e depois diminui simetricamente porque, por exemplo, obter 8 é equivalente a complementar os pares que somam 6, etc. Essa simetria dá a sequência acima.

Passo 3

Calcular explicitamente o número de casos favoráveis e as probabilidades correspondentes.
Vou listar para cada x o número de pares e a probabilidade P(X=x).
  • Para x=2: número de pares =1. Assim P(X=2)=\frac{1}{36}.
  • Para x=3: número de pares =2. Assim P(X=3)=\frac{2}{36}.
  • Para x=4: número de pares =3. Assim P(X=4)=\frac{3}{36}.
  • Para x=5: número de pares =4. Assim P(X=5)=\frac{4}{36}.
  • Para x=6: número de pares =5. Assim P(X=6)=\frac{5}{36}.
  • Para x=7: número de pares =6. Assim P(X=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.
  • Para x=8: por simetria número de pares =5. Assim P(X=8)=\frac{5}{36}.
  • Para x=9: número de pares =4. Assim P(X=9)=\frac{4}{36}.
  • Para x=10: número de pares =3. Assim P(X=10)=\frac{3}{36}.
  • Para x=11: número de pares =2. Assim P(X=11)=\frac{2}{36}.
  • Para x=12: número de pares =1. Assim P(X=12)=\frac{1}{36}.
Verificação rápida de consistência: somando todas as probabilidades deve dar 1.
\sum_{x=2}^{12} P(X=x)=\frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36}=\frac{36}{36}=1.
Perfeito — as probabilidades estão normalizadas.

Passo 4

Apresentar a distribuição em forma de tabela (útil para prova) — linhas com X e P(X).
  • Valores de X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
  • Probabilidades correspondentes: P(X=2)=\frac{1}{36},\; P(X=3)=\frac{2}{36},\; P(X=4)=\frac{3}{36},\; P(X=5)=\frac{4}{36},
P(X=6)=\frac{5}{36},\; P(X=7)=\frac{6}{36},\; P(X=8)=\frac{5}{36},\; P(X=9)=\frac{4}{36},
P(X=10)=\frac{3}{36},\; P(X=11)=\frac{2}{36},\; P(X=12)=\frac{1}{36}.
Dica prática para a prova: decorar a sequência de contagens 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 para somas de dois dados — resolve muita questão rápido.

Passo 5

Como fazer o gráfico da função de probabilidade (passo a passo para desenhar à mão ou em software simples).
  • Eixos: no eixo horizontal marcar os valores x=2,3,\dots,12. No eixo vertical marcar probabilidade; é suficiente marcar os valores \tfrac{1}{36},\tfrac{2}{36},\dots,\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}.
  • Para cada x desenhar uma barra (histograma/discrete bar) ou um ponto vertical (gráfico de massa pontual) com altura P(X=x). As alturas são exatamente os valores listados no Passo 4.
  • Se for desenhar à mão, pode escalar o eixo vertical para que \tfrac{1}{36} seja, por exemplo, um centímetro; então \tfrac{6}{36} será 6 cm — assim as barras ficarão proporcionais e fáceis de desenhar.
  • Forma visual esperada: uma “montanha” simétrica com pico em x=7 (altura \tfrac{6}{36}) e decrescendo simetricamente para as extremidades 2 e 12 (altura \tfrac{1}{36}).
Exemplo rápido de representação textual (cada ‘*’ representa uma unidade de \tfrac{1}{36} para visualizar proporcionalidade):
  • 2: *
  • 3: **
  • 4: ***
  • 5: ****
  • 6: *****
  • 7: ******
  • 8: *****
  • 9: ****
  • 10: ***
  • 11: **
  • 12: *
Isso te ajuda a desenhar o gráfico rapidamente na folha da prova: eixo x com 2 a 12 e barras com as alturas acima.

Resposta

a) (P(X=2)=\dfrac{1}{36},;P(X=3)=\dfrac{2}{36},;P(X=4)=\dfrac{3}{36},;P(X=5)=\dfrac{4}{36},;P(X=6)=\dfrac{5}{36},;P(X=7)=\dfrac{6}{36},;P(X=8)=\dfrac{5}{36},;P(X=9)=\dfrac{4}{36},;P(X=10)=\dfrac{3}{36},;P(X=11)=\dfrac{2}{36},;P(X=12)=\dfrac{1}{36}.
b) Gráfico (pontos/barra): (2,\tfrac{1}{36}),\;(3,\tfrac{2}{36}),\;(4,\tfrac{3}{36}),\;(5,\tfrac{4}{36}),\;(6,\tfrac{5}{36}),\;(7,\tfrac{6}{36}),\;(8,\tfrac{5}{36}),\;(9,\tfrac{4}{36}),\;(10,\tfrac{3}{36}),\;(11,\tfrac{2}{36}),\;(12,\tfrac{1}{36}).)

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