Questão 2 - Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante intervalos aleatoriamente escolhidos de 10 minutos, segue a distribuição abaixo.
\mathrm{N}^{\mathrm{o}} de chegadas (X) 0 1 2 3 4 5
Probabilidade P(X) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05
a) Calcular o número esperado da chegada de clientes por intervalo de 10 minutos. \mathbf{R}: 2.
b) Calcular a variância da chegada de clientes por intervalo de 10 minutos. \mathbf{R}: \mathbf{1 , 9}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Distribuição de probabilidades para o número de chegadas X em intervalos de 10 minutos:
    • P(X=0)=0,15
    • P(X=1)=0,25
    • P(X=2)=0,25
    • P(X=3)=0,20
    • P(X=4)=0,10
    • P(X=5)=0,05
  • O enunciado pede:
    1. Calcular o número esperado de chegadas por intervalo de 10 minutos (ou seja, E[X]).
    2. Calcular a variância das chegadas por intervalo de 10 minutos (ou seja, \operatorname{Var}(X)).

Passo 2

Explicando o que é expectativa (média) de uma variável discreta e a fórmula que vamos usar.
  • A expectativa E[X] é o valor médio que se espera observar de X se o experimento for repetido muitas vezes.
  • Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis x e probabilidades P(X=x), a fórmula é:
E[X]=\sum_{x} x\,P(X=x).
Aqui cada termo x\,P(X=x) significa "valor x vezes a chance de ocorrer x". Somando esses termos obtemos a média ponderada.

Passo 3

Calcular E[X] usando a fórmula, mostrando cada produto e a soma passo a passo.
  • Primeiro escrevemos a soma com os valores dados:
E[X]=0\cdot 0,15 + 1\cdot 0,25 + 2\cdot 0,25 + 3\cdot 0,20 + 4\cdot 0,10 + 5\cdot 0,05.
  • Agora calculamos cada termo:
0\cdot 0,15 = 0,
1\cdot 0,25 = 0,25,
2\cdot 0,25 = 0,50,
3\cdot 0,20 = 0,60,
4\cdot 0,10 = 0,40,
5\cdot 0,05 = 0,25.
  • Somando os termos:
E[X]=0 + 0,25 + 0,50 + 0,60 + 0,40 + 0,25 = 2,00.
  • Interpretação curta: em média chegam 2 clientes a cada 10 minutos.

Passo 4

Explicando o que é variância e a fórmula prática que vamos usar.
  • A variância \operatorname{Var}(X) mede a dispersão dos valores de X em torno da média; é o valor médio dos quadrados das diferenças em relação à média.
  • Uma forma prática de calcular é usar:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - \bigl(E[X]\bigr)^{2}.
  • Aqui E[X^{2}] é a esperança do quadrado da variável e \bigl(E[X]\bigr)^{2} é o quadrado da média que já calculamos. Vou calcular E[X^{2}] em seguida.

Passo 5

Calcular E[X^{2}] mostrando cada termo x^{2}P(X=x).
  • Escrevendo a soma:
E[X^{2}]=0^{2}\cdot 0,15 + 1^{2}\cdot 0,25 + 2^{2}\cdot 0,25 + 3^{2}\cdot 0,20 + 4^{2}\cdot 0,10 + 5^{2}\cdot 0,05.
  • Calculando cada termo:
0^{2}\cdot 0,15 = 0,
1^{2}\cdot 0,25 = 1\cdot 0,25 = 0,25,
2^{2}\cdot 0,25 = 4\cdot 0,25 = 1,00,
3^{2}\cdot 0,20 = 9\cdot 0,20 = 1,80,
4^{2}\cdot 0,10 = 16\cdot 0,10 = 1,60,
5^{2}\cdot 0,05 = 25\cdot 0,05 = 1,25.
  • Somando:
E[X^{2}] = 0 + 0,25 + 1,00 + 1,80 + 1,60 + 1,25 = 5,90.

Passo 6

Calcular a variância usando E[X^{2}] e E[X] e mostrar as contas.
  • Já temos E[X^{2}]=5,90 e E[X]=2,00. Então
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - \bigl(E[X]\bigr)^{2} = 5,90 - (2,00)^{2}.
  • Calculando o quadrado da média:
(2,00)^{2} = 4,00.
  • Portanto
\operatorname{Var}(X)=5,90 - 4,00 = 1,90.
  • Interpretação curta: a variância é 1,90, que indica a dispersão das chegadas em torno da média 2.

Passo 7

Resumo final e um empurrãozinho motivacional.
  • Resultado obtido confirma os valores sugeridos no enunciado: média igual a 2 e variância igual a 1,90.
  • Dica prática para a prova: sempre primeiro calcule E[X] com \sum xP(X=x); depois calcule E[X^{2}] com \sum x^{2}P(X=x) e use \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}. Faz as contas em colunas (valores, probabilidades, produtos) para não se perder — é rápido e a prova agradece!
  • Você está indo bem; respira fundo e segue passo a passo como fiz aqui.

Resposta

E[X]=2
\operatorname{Var}(X)=1,90

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