Questão 4 - Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
X 10 12 13 25
P(X) 0,2 0,3 0,4 0,1
Encontre:
a) a função de distribuição acumulada de X;
X
F(X)
b) a esperança e o desvio padrão da variável aleatória X ; \mathbf{R}: E(X)=13,3 \mathbf{e} \sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\mathbf{4 , 0 5}.
c) o gráfico da distribuição acumulada de X.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X por meio da tabela:
\begin{array}{c|cccc} X & 10 & 12 & 13 & 25\\hline P(X) & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,1 \end{array}
As perguntas são:
a) Encontrar a função de distribuição acumulada F_X(x) (ou seja, F_X(x)=P(X\le x)) e preencher a tabela pedida;
b) Calcular a esperança E(X) e o desvio padrão \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)};
c) Fazer o gráfico da função de distribuição acumulada de X.

Passo 2

Conceito e fórmula para a parte (a). Para variável discreta a função de distribuição acumulada é definida por
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x} P(X=x_i),
ou seja, para cada valor de x soma-se a probabilidade de todos os pontos da distribuição que sejam \le x. Vou calcular esses somatórios nos pontos de interesse (antes do menor valor, entre os valores, nos próprios pontos e depois do maior valor).

Passo 3

Cálculo passo a passo das somas acumuladas:
  • Para x<10: não há valores de X menores ou iguais a x, então
F_X(x)=0.
  • Em x=10 (ou para 10\le x<12): apenas o valor 10 está \le x, então
F_X(10)=P(X=10)=0,2.
  • Em x=12 (ou para 12\le x<13): somam-se P(X=10) e P(X=12):
F_X(12)=0,2+0,3=0,5.
  • Em x=13 (ou para 13\le x<25): somam-se P(X=10)+P(X=12)+P(X=13):
F_X(13)=0,2+0,3+0,4=0,9.
  • Em x=25 (ou para x\ge25): somam-se todas as probabilidades:
F_X(25)=0,2+0,3+0,4+0,1=1.

Passo 4

Escrevendo a função de distribuição acumulada de forma peça a peça (a tabela pedida pode ser construída a partir disto):
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<10,\\[4pt] 0,2, & 10\le x<12,\\[4pt] 0,5, & 12\le x<13,\\[4pt] 0,9, & 13\le x<25,\\[4pt] 1, & x\ge25. \end{cases}]

Passo 5

Agora a parte (b): fórmula e cálculo da esperança. A definição de esperança para variável discreta é
E(X)=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde x_i são os valores que X pode assumir e P(X=x_i) suas probabilidades. Vou calcular termo a termo usando os valores da tabela:
\begin{aligned} 10\cdot 0,2 &= 2,\\\\ 12\cdot 0,3 &= 3,6,\\\\ 13\cdot 0,4 &= 5,2,\\\\ 25\cdot 0,1 &= 2,5. \end{aligned}
Somando:
E(X)=2+3,6+5,2+2,5=13,3.

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão. Uma forma prática é usar
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,
onde
E(X^2)=\sum_i x_i^2\,P(X=x_i).
Calculo E(X^2) termo a termo:
\begin{aligned} 10^2\cdot 0,2 &=100\cdot0,2=20,\\\\ 12^2\cdot 0,3 &=144\cdot0,3=43,2,\\\\ 13^2\cdot 0,4 &=169\cdot0,4=67,6,\\\\ 25^2\cdot 0,1 &=625\cdot0,1=62,5. \end{aligned}
Somando:
E(X^2)=20+43,2+67,6+62,5=193,3.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=193,3-(13,3)^2=193,3-176,89=16,41.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{16,41}\approx4,05.
(Arredondei para duas casas decimais para apresentar o desvio prático na prova.)

Passo 7

Parte (c) — como desenhar o gráfico da distribuição acumulada no documento ou na prova:
  • Desenhe eixos: eixo horizontal para x (valores reais) e vertical para F_X(x) entre 0 e 1.
  • A função é uma função degrau (step). Os pontos-chave (saltos) são:
    • salto em x=10 de 0 para 0,2;
    • salto em x=12 de 0,2 para 0,5;
    • salto em x=13 de 0,5 para 0,9;
    • salto em x=25 de 0,9 para 1.
  • Em cada salto, no ponto do salto coloca-se um ponto fechado no nível após o salto (por exemplo, em x=10 ponto fechado em F_X(10)=0,2) e um círculo aberto no mesmo x no nível imediatamente anterior (por exemplo, para a representação correta à esquerda de 10 o valor é 0, então costuma-se desenhar um círculo aberto em (10,0) se quiser explicitar). Entre os saltos a função é constante (linhas horizontais).
  • Esse procedimento garante que o gráfico represente F_X(x)=P(X\le x) corretamente.

Resposta

a)
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<10,\\[4pt] 0,2, & 10\le x<12,\\[4pt] 0,5, & 12\le x<13,\\[4pt] 0,9, & 13\le x<25,\\[4pt] 1, & x\ge25. \end{cases}
b) E(X)=13,3 \
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\approx4,05]

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