Questão 4 - Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
X
10
12
13
25
P(X)
0,2
0,3
0,4
0,1
Encontre:
a) a função de distribuição acumulada de X;
X
F(X)
b) a esperança e o desvio padrão da variável aleatória X ; \mathbf{R}: E(X)=13,3 \mathbf{e} \sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\mathbf{4 , 0 5}.
c) o gráfico da distribuição acumulada de X.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X por meio da tabela:
As perguntas são:
a) Encontrar a função de distribuição acumulada F_X(x) (ou seja, F_X(x)=P(X\le x)) e preencher a tabela pedida;
b) Calcular a esperança E(X) e o desvio padrão \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)};
c) Fazer o gráfico da função de distribuição acumulada de X.
Passo 2
Conceito e fórmula para a parte (a). Para variável discreta a função de distribuição acumulada é definida por
F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x} P(X=x_i),
ou seja, para cada valor de x soma-se a probabilidade de todos os pontos da distribuição que sejam \le x. Vou calcular esses somatórios nos pontos de interesse (antes do menor valor, entre os valores, nos próprios pontos e depois do maior valor).
Passo 3
Cálculo passo a passo das somas acumuladas:
Para x<10: não há valores de X menores ou iguais a x, então
F_X(x)=0.
Em x=10 (ou para 10\le x<12): apenas o valor 10 está \le x, então
F_X(10)=P(X=10)=0,2.
Em x=12 (ou para 12\le x<13): somam-se P(X=10) e P(X=12):
F_X(12)=0,2+0,3=0,5.
Em x=13 (ou para 13\le x<25): somam-se P(X=10)+P(X=12)+P(X=13):
F_X(13)=0,2+0,3+0,4=0,9.
Em x=25 (ou para x\ge25): somam-se todas as probabilidades:
F_X(25)=0,2+0,3+0,4+0,1=1.
Passo 4
Escrevendo a função de distribuição acumulada de forma peça a peça (a tabela pedida pode ser construída a partir disto):
(Arredondei para duas casas decimais para apresentar o desvio prático na prova.)
Passo 7
Parte (c) — como desenhar o gráfico da distribuição acumulada no documento ou na prova:
Desenhe eixos: eixo horizontal para x (valores reais) e vertical para F_X(x) entre 0 e 1.
A função é uma função degrau (step). Os pontos-chave (saltos) são:
salto em x=10 de 0 para 0,2;
salto em x=12 de 0,2 para 0,5;
salto em x=13 de 0,5 para 0,9;
salto em x=25 de 0,9 para 1.
Em cada salto, no ponto do salto coloca-se um ponto fechado no nível após o salto (por exemplo, em x=10 ponto fechado em F_X(10)=0,2) e um círculo aberto no mesmo x no nível imediatamente anterior (por exemplo, para a representação correta à esquerda de 10 o valor é 0, então costuma-se desenhar um círculo aberto em (10,0) se quiser explicitar). Entre os saltos a função é constante (linhas horizontais).
Esse procedimento garante que o gráfico represente F_X(x)=P(X\le x) corretamente.