Questāo:Uma lata de cerveja inicialmente a
é colocada num congelador com ar a
. Quanto tem
. leva para resfriar a lata de cerveja para
? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da agua. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado, em
.O que você sugere fazer, baseado em seus conhecimentos em transferência de calor, para diminuir o tempo necessário para gelar a lata?
Propriedades:
e
Propriedades:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular quanto tempo leva para uma lata de cerveja, inicialmente a
, atingir
quando colocada em ar a
; (2) sugerir medidas, com base em transferência de calor, para diminuir esse tempo. \n
Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como vieram): \n
Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como vieram): \n
- Temperatura inicial da lata:
. \n - Temperatura do ar (meio ambiente do congelador):
. \n - Temperatura alvo:
. \n - Altura da lata:
. \n - Diâmetro da lata:
. \n - Coeficiente de convecção do ar para a lata:
. \n - Propriedades (assumidas iguais às da água):
, , . \n - Foi dada também a difusividade térmica (aparentemente)
(vou considerar esse valor como informado). \n
Observação importante: os dados geométricos e as propriedades são suficientes para decidir o método de solução (ver passo seguinte).
Passo 2
Calcular volume da lata e área superficial (essas quantidades vão entrar nas fórmulas de resfriamento). Vou tratar a lata como um cilindro perfeito. \n
Fórmula do volume do cilindro:
onde
é o raio e
a altura. Aqui
e
. \n
Cálculo:
\n
Área superficial total (lateral + tampas):
\n
Cálculo:
Passo 3
Calcular massa do líquido na lata e sua capacidade térmica total. \n
Massa:
\n
Capacidade térmica (massa vezes calor específico):
\n
Explicação rápida (mini‑aula):
é a quantidade de energia (em joules) necessária para elevar ou diminuir em
a temperatura total do conteúdo. Em problemas de resfriamento, essa “inércia térmica” aparece no denominador da constante de tempo: quanto maior
, mais lento o aquecimento/resfriamento.
Passo 4
Verificar se podemos usar o método “lumped capacitance” (modelo de corpo de temperatura uniforme) — isto simplifica bastante e dá a equação exponencial conhecida. \n
Critério: usar o número de Biot
, definido por
onde
é um comprimento característico dado por
. O critério prático é: se
, a distribuição interna de temperatura é praticamente uniforme e o modelo lumped é aceitável. \n
Calcular
:
\n
Calcular Biot:
\n
Interpretação:
é um pouco maior que
. Isso significa que a resistência térmica interna (condução dentro do líquido) não é totalmente desprezível; portanto o modelo lumped é uma aproximação razoável, mas ligeiramente otimista (tende a subestimar o tempo real). Como regra prática para exercícios, quando Bi está perto de
(aqui 0,123) o modelo lumped ainda é frequentemente usado com indicação de margem de erro pequena-moderada. Vou usá‑lo, explicando essa limitação. (Escolhi esse método por ser o mais prático e porque o enunciado dá
e propriedades do fluido — a alternativa seria resolver a equação de difusão transiente com séries ou gráficos de Heisler, que é muito mais trabalhosa manualmente.)
Passo 5
Apresentar a equação do modelo lumped (aula curta e derivação física): \n
Energeticamente, para um corpo com temperatura uniforme trocando calor por convecção com o ambiente
, a taxa de perda de energia é igual à variação da energia interna:
Energeticamente, para um corpo com temperatura uniforme
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Separando variáveis e integrando obtemos a solução:
Define‑se a constante de tempo (característica)
como
. \n
Para chegar a uma temperatura desejada, isolamos
:
Para chegar a uma temperatura
Passo 6
Aplicar a fórmula numérica com os valores que calculámos. \n
Primeiro calcular
:
\n
Agora o logaritmo:
\n
Portanto o tempo:
\n
Converter para minutos e horas:
ou seja cerca de
. \n
Comentário sobre precisão: como vimos em
Comentário sobre precisão: como vimos em
Passo 7
Sugestões práticas para diminuir o tempo de gelar a lata (aqui explico o porquê, relacionando com as fórmulas): \n
- Aumentar o coeficiente convectivo
: como , se aumenta, o tempo diminui. Medidas que aumentam : \n
- Ventilação forçada (usar um ventilador no congelador ou colocar a lata à frente de um fluxo de ar frio) — isso transforma convecção natural em convecção forçada e aumenta
várias vezes. \n - Colocar a lata em contato com um meio com maior convecção: por exemplo, submergir em água gelada/banho de gelo (e agitar) em vez de apenas ar frio — banho com água tem
muito maior que ar. Adicionar sal ao banho de gelo reduz o ponto de fusão e acelera o resfriamento. \n
- Diminuir a diferença efetiva de temperatura entre a lata e o meio (reduzir
ou usar contato direto com superfícies muito frias): na equação do resfriamento, o “motor” do calor é . Um meio mais frio (por exemplo, gelo/água com sal a temperaturas negativas do ponto de congelamento da água) aumenta gradiente térmico inicial e acelera resfriamento. \n - Aumentar a área de troca
: como , aumentar diminui o tempo. Na prática é difícil mudar muito a geometria da lata, mas medidas como remover rótulos (melhora contato se for um banho) ou espalhar a lata (não muito aplicável) podem ajudar pouco. \n - Promover mistura interna (reduzir resistência interna): como notamos pelo
, há certa resistência interna. Agitar/rodar a lata durante o resfriamento provoca convecção interna do líquido e elimina gradientes internos, acelerando o resfriamento. Uma técnica prática: girar a lata dentro de um banho de gelo. \n - Melhor contato condutor com superfície fria: encostar a lata sobre uma peça de metal altamente condutora e fria (por exemplo, uma placa metálica no congelador) melhora a troca por condução local. \n
Resumo prático rápido (o que eu faria se quisesse gelar rápido): colocar a lata em banho de gelo com água e sal e agitar/rodar a lata por alguns minutos — é a combinação que mais reduz o tempo (aumentae o gradiente térmico). Em segundo lugar, usar ventilador/fluxo de ar para forçar convecção se banho de gelo não for possível.
Resposta
Sugestões para diminuir o tempo: imersão em banho de gelo (água + sal) com agitação/rodízio da lata; usar convecção forçada (ventilador) para aumentar