Questāo:Uma lata de cerveja inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} é colocada num congelador com ar a 0^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tem { }^{\circ}. leva para resfriar a lata de cerveja para 7^{\circ} \mathrm{C} ? Considere as propriedades da cerveja as mesmas da agua. A lata possui 20 cm de altura e 7 cm de diâmetro. O coeficiente de transferência de calor do ar para a lata foi estimado, em 4.73 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2^{\circ} \mathrm{C}.O que você sugere fazer, baseado em seus conhecimentos em transferência de calor, para diminuir o tempo necessário para gelar a lata?
Propriedades: p=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}: \mathrm{Cp}=4203 \mathrm{~J} / \mathrm{Kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{k}=0,5723 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{a}=1,32.107 \mathrm{~m} \%

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular quanto tempo leva para uma lata de cerveja, inicialmente a 20^\circ\mathrm{C}, atingir 7^\circ\mathrm{C} quando colocada em ar a 0^\circ\mathrm{C}; (2) sugerir medidas, com base em transferência de calor, para diminuir esse tempo. \n
Dados fornecidos (vou listá‑los exatamente como vieram): \n
  • Temperatura inicial da lata: T_0 = 20^\circ\mathrm{C}. \n
  • Temperatura do ar (meio ambiente do congelador): T_\infty = 0^\circ\mathrm{C}. \n
  • Temperatura alvo: T = 7^\circ\mathrm{C}. \n
  • Altura da lata: h = 20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}. \n
  • Diâmetro da lata: d = 7\\ \mathrm{cm} = 0{,}07\\ \mathrm{m}. \n
  • Coeficiente de convecção do ar para a lata: h = 4{,}73\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}. \n
  • Propriedades (assumidas iguais às da água): \rho = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, c_p = 4203\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,{}^\circ\mathrm{C}, k = 0{,}5723\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,{}^\circ\mathrm{C}. \n
  • Foi dada também a difusividade térmica (aparentemente) \alpha \approx 1{,}32\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (vou considerar esse valor como informado). \n
    Observação importante: os dados geométricos e as propriedades são suficientes para decidir o método de solução (ver passo seguinte).

Passo 2

Calcular volume da lata e área superficial (essas quantidades vão entrar nas fórmulas de resfriamento). Vou tratar a lata como um cilindro perfeito. \n
Fórmula do volume do cilindro: V = \pi r^2 H
onde r é o raio e H a altura. Aqui r = d/2 = 0{,}035\\ \mathrm{m} e H = 0{,}20\\ \mathrm{m}. \n
Cálculo: V = \pi (0{,}035)^2 (0{,}20) = \pi (0{,}001225)(0{,}20) = \pi(0{,}000245) \approx 0{,}0007697\\ \mathrm{m}^3. \n
Área superficial total (lateral + tampas): A = A_{\text{lateral}} + A_{\text{tampas}} = \pi d H + 2\pi r^2. \n
Cálculo: A_{\text{lateral}} = \pi(0{,}07)(0{,}20) = \pi(0{,}014) \approx 0{,}043982\\ \mathrm{m}^2,
A_{\text{tampas}} = 2\pi(0{,}035)^2 = 2\pi(0{,}001225) \approx 0{,}007694\\ \mathrm{m}^2,
A = 0{,}043982 + 0{,}007694 = 0{,}051676\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcular massa do líquido na lata e sua capacidade térmica total. \n
Massa: m = \rho V = 1000\cdot 0{,}0007697 \approx 0{,}7697\\ \mathrm{kg}. \n
Capacidade térmica (massa vezes calor específico): m c_p = 0{,}7697\cdot 4203 \approx 3235{,}0\\ \mathrm{J}/{}^\circ\mathrm{C}. \n
Explicação rápida (mini‑aula): m c_p é a quantidade de energia (em joules) necessária para elevar ou diminuir em 1^\circ\mathrm{C} a temperatura total do conteúdo. Em problemas de resfriamento, essa “inércia térmica” aparece no denominador da constante de tempo: quanto maior m c_p, mais lento o aquecimento/resfriamento.

Passo 4

Verificar se podemos usar o método “lumped capacitance” (modelo de corpo de temperatura uniforme) — isto simplifica bastante e dá a equação exponencial conhecida. \n
Critério: usar o número de Biot \mathrm{Bi}, definido por \mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k},
onde L_c é um comprimento característico dado por L_c = V/A. O critério prático é: se \mathrm{Bi}\le 0{,}1, a distribuição interna de temperatura é praticamente uniforme e o modelo lumped é aceitável. \n
Calcular L_c: L_c = \frac{V}{A} = \frac{0{,}0007697}{0{,}051676} \approx 0{,}01489\\ \mathrm{m}. \n
Calcular Biot: \mathrm{Bi} = \frac{4{,}73\cdot 0{,}01489}{0{,}5723} \approx 0{,}123. \n
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx 0{,}123 é um pouco maior que 0{,}1. Isso significa que a resistência térmica interna (condução dentro do líquido) não é totalmente desprezível; portanto o modelo lumped é uma aproximação razoável, mas ligeiramente otimista (tende a subestimar o tempo real). Como regra prática para exercícios, quando Bi está perto de 0{,}1 (aqui 0,123) o modelo lumped ainda é frequentemente usado com indicação de margem de erro pequena-moderada. Vou usá‑lo, explicando essa limitação. (Escolhi esse método por ser o mais prático e porque o enunciado dá h e propriedades do fluido — a alternativa seria resolver a equação de difusão transiente com séries ou gráficos de Heisler, que é muito mais trabalhosa manualmente.)

Passo 5

Apresentar a equação do modelo lumped (aula curta e derivação física): \n
Energeticamente, para um corpo com temperatura uniforme T(t) trocando calor por convecção com o ambiente T_\infty, a taxa de perda de energia é igual à variação da energia interna:
m c_p \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Separando variáveis e integrando obtemos a solução:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty} = \exp\!\biggl(-\frac{h A}{m c_p}\,t\biggr).
Define‑se a constante de tempo (característica) \tau como \displaystyle \tau = \frac{m c_p}{h A}. \n
Para chegar a uma temperatura T desejada, isolamos t:
t = \tau \ln\!\left(\frac{T_0-T_\infty}{T-T_\infty}\right) = \frac{m c_p}{h A}\ln\!\left(\frac{T_0-T_\infty}{T-T_\infty}\right).

Passo 6

Aplicar a fórmula numérica com os valores que calculámos. \n
Primeiro calcular \tau: \tau = \frac{m c_p}{h A} = \frac{3235{,}0}{4{,}73\cdot 0{,}051676} = \frac{3235{,}0}{0{,}24442} \approx 13242\\ \mathrm{s}. \n
Agora o logaritmo: \ln\!\left(\frac{T_0-T_\infty}{T-T_\infty}\right)=\ln\!\left(\frac{20-0}{7-0}\right)=\ln\!\left(\frac{20}{7}\right)\approx 1{,}04982. \n
Portanto o tempo: t = 13242\cdot 1{,}04982 \approx 13903\\ \mathrm{s}. \n
Converter para minutos e horas: t \approx \frac{13903}{60} \approx 231{,}7\\ \mathrm{min} \approx 3{,}86\\ \mathrm{h},
ou seja cerca de 3\\ \mathrm{h}\\\ 52\\ \mathrm{min}. \n
Comentário sobre precisão: como vimos em

Passo 7

Sugestões práticas para diminuir o tempo de gelar a lata (aqui explico o porquê, relacionando com as fórmulas): \n
  1. Aumentar o coeficiente convectivo h: como \tau\propto 1/h, se h aumenta, o tempo diminui. Medidas que aumentam h: \n
  • Ventilação forçada (usar um ventilador no congelador ou colocar a lata à frente de um fluxo de ar frio) — isso transforma convecção natural em convecção forçada e aumenta h várias vezes. \n
  • Colocar a lata em contato com um meio com maior convecção: por exemplo, submergir em água gelada/banho de gelo (e agitar) em vez de apenas ar frio — banho com água tem h muito maior que ar. Adicionar sal ao banho de gelo reduz o ponto de fusão e acelera o resfriamento. \n
  1. Diminuir a diferença efetiva de temperatura entre a lata e o meio (reduzir T_\infty ou usar contato direto com superfícies muito frias): na equação do resfriamento, o “motor” do calor é T-T_\infty. Um meio mais frio (por exemplo, gelo/água com sal a temperaturas negativas do ponto de congelamento da água) aumenta gradiente térmico inicial e acelera resfriamento. \n
  2. Aumentar a área de troca A: como \tau\propto 1/A, aumentar A diminui o tempo. Na prática é difícil mudar muito a geometria da lata, mas medidas como remover rótulos (melhora contato se for um banho) ou espalhar a lata (não muito aplicável) podem ajudar pouco. \n
  3. Promover mistura interna (reduzir resistência interna): como notamos pelo \mathrm{Bi}\gtrsim 0{,}1, há certa resistência interna. Agitar/rodar a lata durante o resfriamento provoca convecção interna do líquido e elimina gradientes internos, acelerando o resfriamento. Uma técnica prática: girar a lata dentro de um banho de gelo. \n
  4. Melhor contato condutor com superfície fria: encostar a lata sobre uma peça de metal altamente condutora e fria (por exemplo, uma placa metálica no congelador) melhora a troca por condução local. \n
    Resumo prático rápido (o que eu faria se quisesse gelar rápido): colocar a lata em banho de gelo com água e sal e agitar/rodar a lata por alguns minutos — é a combinação que mais reduz o tempo (aumenta h e o gradiente térmico). Em segundo lugar, usar ventilador/fluxo de ar para forçar convecção se banho de gelo não for possível.

Resposta

t \approx 1{,}39\times 10^{4}\\ \mathrm{s} \approx 231{,}7\\ \mathrm{min} \approx 3{,}86\\ \mathrm{h} (estimativa pelo modelo lumped; o tempo real pode ser um pouco maior devido a \mathrm{Bi}\approx 0{,}123>0{,}1).\n
Sugestões para diminuir o tempo: imersão em banho de gelo (água + sal) com agitação/rodízio da lata; usar convecção forçada (ventilador) para aumentar h; promover mistura interna (agitar/rodar) e/ou melhorar contato com superfícies metálicas muito frias.

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