Assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as alternativas falsas.
2.1. ( ) Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o Centro de Pressões (CP) e o Centro de Gravidade (CG) estão localizados no mesmo ponto;
2.2.( ) Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no Centro de Gravidade (CG), pois a pressão varia linearmente com a profundidade;
2.3.( ) O Centro de Pressões (CP) é sempre localizado em uma posição acima do Centro de Gravidade (CG) para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para três afirmações sobre o Centro de Pressões ( \mathrm{CP}) e o Centro de Gravidade ( \mathrm{CG}) de superfícies submersas. As três afirmações são:
  • 2.1. Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o Centro de Pressões ( \mathrm{CP}) e o Centro de Gravidade ( \mathrm{CG}) estão localizados no mesmo ponto.
  • 2.2. Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no Centro de Gravidade ( \mathrm{CG}), pois a pressão varia linearmente com a profundidade.
  • 2.3. O Centro de Pressões ( \mathrm{CP}) é sempre localizado em uma posição acima do Centro de Gravidade ( \mathrm{CG}) para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar: fala-se de superfícies planas imersas em um fluido sob gravidade (logo vale a lei da pressão hidrostática) e com profundidade medida a partir da superfície livre do fluido. A tarefa é decidir V/F para cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a lei básica da pressão em um fluido em repouso:
p = p_0 + \rho g y,
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto considerado,
  • p_0 é a pressão na superfície livre (frequentemente podemos usar pressão gauge e tomar p_0=0),
  • \rho é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • y é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre (positivo para baixo).
Observação importante: da fórmula vemos que a pressão aumenta linearmente com a profundidade y. Não diminui — aumenta. Isso já corrige a afirmação da 2.3 sobre o sentido da variação.

Passo 3

Agora a força hidrostática resultante sobre uma superfície plana A. A pressão no ponto de coordenada y exerce uma pequena força \mathrm{d}F = p(y)\,\mathrm{d}A. A força total é a integral sobre a área:
F = \int_{A} p(y)\,\mathrm{d}A = \rho g \int_{A} y\,\mathrm{d}A.
Definindo y_c como a profundidade do centroide (centro geométrico) da área A,
y_c = \frac{1}{A}\int_A y\,\mathrm{d}A,
temos
F = \rho g A y_c.
Interpretação simples e prática: a resultante hidrostática tem magnitude igual à pressão correspondente à profundidade do centroide multiplicada pela área.

Passo 4

Mas onde essa força resultante atua? Isso é o papel do Centro de Pressões ( \mathrm{CP}). A profundidade do \mathrm{CP}, que chamo de y_{\mathrm{CP}}, é dada pela primeira momento da distribuição de pressão:
y_{\mathrm{CP}} = \frac{1}{F}\int_A y\,p(y)\,\mathrm{d}A = \frac{\rho g}{F}\int_A y^2\,\mathrm{d}A.
Substituindo F=\rho g A y_c e escrevendo \int_A y^2\,\mathrm{d}A em termos do momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide (chamo de I_{x_c}):
\int_A y^2\,\mathrm{d}A = I_{x_c} + A y_c^2,
obtemos a fórmula clássica:
y_{\mathrm{CP}} = y_c + \frac{I_{x_c}}{A y_c}.
Explicando as variáveis:
  • y_{\mathrm{CP}} é a profundidade do Centro de Pressões (local onde a força resultante age),
  • y_c é a profundidade do centroide da área,
  • I_{x_c} é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal passando pelo centroide,
  • A é a área da superfície.
Importante: para uma superfície plana não degenerada, I_{x_c}>0 e A>0, portanto \dfrac{I_{x_c}}{A y_c}>0. Logo
y_{\mathrm{CP}}>y_c,
ou seja, o \mathrm{CP} está sempre em uma profundidade maior que a do centroide — isto é, localizado “mais abaixo” (mais profundo) que o centroide. Para superfícies verticais ou inclinadas isso significa que o \mathrm{CP} fica abaixo do centro geométrico (centroide).

Passo 5

Interpreto agora cada afirmação usando o que vimos:
  • Afirmação 2.1: “Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o \mathrm{CP} e o \mathrm{CG} estão no mesmo ponto.”
    Explicação: para uma superfície exatamente horizontal todos os pontos da área estão à mesma profundidade y, então a pressão é uniforme sobre a área ( p constante). Assim a resultante \mathbf{F}=pA atua no centro geométrico da área (porque a distribuição de pressão é uniforme), que coincide com o centro de gravidade geométrico da lâmina. Portanto \mathrm{CP} coincide com o centroide/centro de gravidade da superfície — a afirmação é verdadeira.
  • Afirmação 2.2: “Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no \mathrm{CG}, pois a pressão varia linearmente com a profundidade.”
    Explicação: embora a pressão varie linearmente com a profundidade (isso é verdade), a força resultante não atua no \mathrm{CG} em geral; ela atua no \mathrm{CP}, que é deslocado para uma profundidade maior que o centroide (ver fórmula do passo anterior). Ou seja, a conclusão de que a força atua no \mathrm{CG} é incorreta. Portanto a afirmação é falsa.
  • Afirmação 2.3: “O \mathrm{CP} é sempre localizado em uma posição acima do \mathrm{CG} para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.”
    Explicação: ambos os pontos dessa frase estão trocados. A pressão não diminui com a profundidade — ela aumenta. E, como acabamos de mostrar, o \mathrm{CP} fica abaixo (em maior profundidade) do centroide/ \mathrm{CG} para superfícies planas inclinadas ou verticais. Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

Recapitulando de forma direta e rápida: para superfícies planas horizontais a pressão é uniforme e \mathrm{CP}=\mathrm{CG}; para verticais/inclinadas a pressão cresce com a profundidade e o \mathrm{CP} fica mais profundo que o centroide, então a resultante não passa pelo \mathrm{CG}.

Resposta

2.1. V
2.2. F
2.3. F

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