Assinale
para as alternativas verdadeiras e
para as alternativas falsas.
2.1. ( ) Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o Centro de Pressões (CP) e o Centro de Gravidade (CG) estão localizados no mesmo ponto;
2.2.( ) Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no Centro de Gravidade (CG), pois a pressão varia linearmente com a profundidade;
2.3.( ) O Centro de Pressões (CP) é sempre localizado em uma posição acima do Centro de Gravidade (CG) para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.
2.1. ( ) Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o Centro de Pressões (CP) e o Centro de Gravidade (CG) estão localizados no mesmo ponto;
2.2.( ) Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no Centro de Gravidade (CG), pois a pressão varia linearmente com a profundidade;
2.3.( ) O Centro de Pressões (CP) é sempre localizado em uma posição acima do Centro de Gravidade (CG) para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale
(verdadeiro) ou
(falso) para três afirmações sobre o Centro de Pressões (
) e o Centro de Gravidade (
) de superfícies submersas. As três afirmações são:
- 2.1. Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o Centro de Pressões (
) e o Centro de Gravidade ( ) estão localizados no mesmo ponto. - 2.2. Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no Centro de Gravidade (
), pois a pressão varia linearmente com a profundidade. - 2.3. O Centro de Pressões (
) é sempre localizado em uma posição acima do Centro de Gravidade ( ) para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar: fala-se de superfícies planas imersas em um fluido sob gravidade (logo vale a lei da pressão hidrostática) e com profundidade medida a partir da superfície livre do fluido. A tarefa é decidir V/F para cada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a lei básica da pressão em um fluido em repouso:
onde:
-
é a pressão absoluta no ponto considerado, -
é a pressão na superfície livre (frequentemente podemos usar pressão gauge e tomar ), -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre (positivo para baixo).
Observação importante: da fórmula vemos que a pressão aumenta linearmente com a profundidade
. Não diminui — aumenta. Isso já corrige a afirmação da 2.3 sobre o sentido da variação.
Passo 3
Agora a força hidrostática resultante sobre uma superfície plana
. A pressão no ponto de coordenada
exerce uma pequena força
. A força total é a integral sobre a área:
Definindo
como a profundidade do centroide (centro geométrico) da área
,
temos
Interpretação simples e prática: a resultante hidrostática tem magnitude igual à pressão correspondente à profundidade do centroide multiplicada pela área.
Passo 4
Mas onde essa força resultante atua? Isso é o papel do Centro de Pressões (
). A profundidade do
, que chamo de
, é dada pela primeira momento da distribuição de pressão:
Substituindo
e escrevendo
em termos do momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide (chamo de
):
obtemos a fórmula clássica:
Explicando as variáveis:
-
é a profundidade do Centro de Pressões (local onde a força resultante age), -
é a profundidade do centroide da área, -
é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal passando pelo centroide, -
é a área da superfície.
Importante: para uma superfície plana não degenerada,
e
, portanto
. Logo
ou seja, o
está sempre em uma profundidade maior que a do centroide — isto é, localizado “mais abaixo” (mais profundo) que o centroide. Para superfícies verticais ou inclinadas isso significa que o
fica abaixo do centro geométrico (centroide).
Passo 5
Interpreto agora cada afirmação usando o que vimos:
-
Afirmação 2.1: “Para uma superfície plana submersa na posição horizontal, o
e o estão no mesmo ponto.”
Explicação: para uma superfície exatamente horizontal todos os pontos da área estão à mesma profundidade, então a pressão é uniforme sobre a área ( constante). Assim a resultante atua no centro geométrico da área (porque a distribuição de pressão é uniforme), que coincide com o centro de gravidade geométrico da lâmina. Portanto coincide com o centroide/centro de gravidade da superfície — a afirmação é verdadeira. -
Afirmação 2.2: “Em uma superfície plana submersa na posição vertical, a força hidrostática atua no
, pois a pressão varia linearmente com a profundidade.”
Explicação: embora a pressão varie linearmente com a profundidade (isso é verdade), a força resultante não atua noem geral; ela atua no , que é deslocado para uma profundidade maior que o centroide (ver fórmula do passo anterior). Ou seja, a conclusão de que a força atua no é incorreta. Portanto a afirmação é falsa. -
Afirmação 2.3: “O
é sempre localizado em uma posição acima do para superfícies inclinadas ou verticais, pois a pressão diminui com a profundidade.”
Explicação: ambos os pontos dessa frase estão trocados. A pressão não diminui com a profundidade — ela aumenta. E, como acabamos de mostrar, ofica abaixo (em maior profundidade) do centroide/ para superfícies planas inclinadas ou verticais. Logo a afirmação é falsa.
Passo 6
Recapitulando de forma direta e rápida: para superfícies planas horizontais a pressão é uniforme e
; para verticais/inclinadas a pressão cresce com a profundidade e o
fica mais profundo que o centroide, então a resultante não passa pelo
.
Resposta
2.1. V
2.2. F
2.3. F
2.2. F
2.3. F