Questão 4-\left(\mathbf{2}, \mathbf{5}\right. pts) Uma partícula se move sobre a parábola y=x^{2} da esquerda para a direita. Quando ela passa pelo ponto (2,4), sua velocidade é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o valor de seu vetor velocidade neste ponto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples para não nos enrolarmos:
  • A partícula está sobre a parábola y=x^{2}.
  • Ela está se movendo da esquerda para a direita (ou seja, a componente x da velocidade é positiva).
  • Quando passa pelo ponto (2,4) a sua rapidez (módulo da velocidade) é \;3\\ \mathrm{m/s}.
    O que se pede: determinar o vetor velocidade da partícula no ponto (2,4).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o vetor velocidade e como ele se relaciona com a trajetória. Se a posição da partícula for \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)), o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right).
A rapidez (ou velocidade escalar) é o módulo desse vetor:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}.
Essas duas fórmulas são fundamentais: a primeira define o vetor velocidade componente a componente; a segunda diz como calcular o comprimento (módulo) desse vetor.

Passo 3

Como a partícula está presa à curva y=x^{2}, as componentes não são independentes: y depende de x. Usando a regra da cadeia temos
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Agora calculemos \dfrac{dy}{dx} para a curva dada:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
No ponto x=2 temos
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=2\cdot 2=4.
Isto significa que a direção tangente à curva naquele ponto tem vetor direção proporcional a (1,4) (um incremento unitário em x corresponde a incremento 4 em y).

Passo 4

Escrevendo a velocidade em função de \dfrac{dx}{dt} usando \dfrac{dy}{dt}=2x\cdot\dfrac{dx}{dt}, obtemos
\mathbf{v}=\left(\frac{dx}{dt},\;2x\frac{dx}{dt}\right)=\frac{dx}{dt}\,(1,2x).
No ponto x=2 isso vira
\mathbf{v}=\frac{dx}{dt}\,(1,4).
Agora usamos a expressão do módulo para ligar \dfrac{dx}{dt} com a rapidez conhecida. O módulo de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\left|\frac{dx}{dt}\right|\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\left|\frac{dx}{dt}\right|\sqrt{1+16}=\left|\frac{dx}{dt}\right|\sqrt{17}.

Passo 5

Sabemos que a rapidez é \|\mathbf{v}\|=3\\ \mathrm{m/s}. Logo
3=\left|\frac{dx}{dt}\right|\sqrt{17}\quad\Rightarrow\quad \left|\frac{dx}{dt}\right|=\frac{3}{\sqrt{17}}.
Como a partícula se move da esquerda para a direita, temos \dfrac{dx}{dt}>0. Portanto
\frac{dx}{dt}=\frac{3}{\sqrt{17}}.

Passo 6

Substituindo \dfrac{dx}{dt} em \mathbf{v}=\dfrac{dx}{dt}\,(1,4) obtemos as componentes da velocidade no ponto (2,4):
\mathbf{v}=\left(\frac{3}{\sqrt{17}},\;\frac{12}{\sqrt{17}}\right)\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser aprox.: \dfrac{3}{\sqrt{17}}\approx 0{,}727\\ \mathrm{m/s} e \dfrac{12}{\sqrt{17}}\approx 2{,}909\\ \mathrm{m/s}, mas a forma exata em radicais é melhor para a prova.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{17}},\frac{12}{\sqrt{17}}\right)\\ \mathrm{m/s}

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