Questão 4-\left(\mathbf{2}, \mathbf{5}\right. pts) Uma partícula se move sobre a parábola y=x^{2} da esquerda para a direita. Quando ela passa pelo ponto (2,4), sua velocidade é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o valor de seu vetor velocidade neste ponto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples para não nos enrolarmos:
A partícula está sobre a parábola y=x^{2}.
Ela está se movendo da esquerda para a direita (ou seja, a componente x da velocidade é positiva).
Quando passa pelo ponto (2,4) a sua rapidez (módulo da velocidade) é \;3\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede: determinar o vetor velocidade da partícula no ponto (2,4).
Passo 2
Vamos lembrar o que é o vetor velocidade e como ele se relaciona com a trajetória. Se a posição da partícula for \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)), o vetor velocidade é
Essas duas fórmulas são fundamentais: a primeira define o vetor velocidade componente a componente; a segunda diz como calcular o comprimento (módulo) desse vetor.
Passo 3
Como a partícula está presa à curva y=x^{2}, as componentes não são independentes: y depende de x. Usando a regra da cadeia temos
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Agora calculemos \dfrac{dy}{dx} para a curva dada:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
No ponto x=2 temos
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=2\cdot 2=4.
Isto significa que a direção tangente à curva naquele ponto tem vetor direção proporcional a (1,4) (um incremento unitário em x corresponde a incremento 4 em y).
Passo 4
Escrevendo a velocidade em função de \dfrac{dx}{dt} usando \dfrac{dy}{dt}=2x\cdot\dfrac{dx}{dt}, obtemos
Se quiser aprox.: \dfrac{3}{\sqrt{17}}\approx 0{,}727\\ \mathrm{m/s} e \dfrac{12}{\sqrt{17}}\approx 2{,}909\\ \mathrm{m/s}, mas a forma exata em radicais é melhor para a prova.