\mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j}
(a) Se \mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j}, encontre uma função de f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
(b) Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é a curva dada por
\mathbf{r}(t)=e^{t} \operatorname{sen} t \mathbf{i}+e^{t} \cos t \mathbf{j}, \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (a) Encontrar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f, onde \mathbf{F}(x,y)=(3+2xy)\mathbf{i}+(x^{2}-3y^{2})\mathbf{j}.
  • (b) Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva dada por
\mathbf{r}(t)=e^{t}\sin t\,\mathbf{i}+e^{t}\cos t\,\mathbf{j},\qquad 0\le t\le \pi.
Informações dadas que são relevantes:
  • A componente P(x,y) de \mathbf{F} é P(x,y)=3+2xy.
  • A componente Q(x,y) de \mathbf{F} é Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
  • A curva C está parametrizada por x(t)=e^{t}\sin t e y(t)=e^{t}\cos t, com t variando de 0 a \pi.

Passo 2

Verificar se \mathbf{F} é um campo gradiente (conservativo) — isso nos diz se existe f com \nabla f=\mathbf{F}. Em \mathbb{R}^{2} um teste simples é comparar \partial P/\partial y com \partial Q/\partial x. Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3+2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-3y^{2})=2x.
Como \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y), o campo é conservativo em todo \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo), logo existe uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 3

Agora vamos construir f. Se \nabla f=(f_x,f_y)= (P,Q), então
f_x(x,y)=3+2xy.
Integrando essa igualdade em relação a x (tratando y como constante) obtemos f até uma função que depende só de y:
f(x,y)=\int (3+2xy)\,dx = 3x + x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 4

Para determinar g(y) usamos a condição sobre f_y. Diferenciando a expressão obtida para f em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x + x^{2}y + g(y)\big)=x^{2}+g'(y).
Mas sabemos que f_y deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}. Igualando:
x^{2}+g'(y)=x^{2}-3y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=-3y^{2}.

Passo 5

Integramos g'(y) em relação a y:
g(y)=\int -3y^{2}\,dy = -y^{3}+C,
onde C é uma constante real. Substituindo em f obtemos a função potencial completa:
f(x,y)=3x + x^{2}y - y^{3} + C.
Podemos escolher C=0 se quisermos uma potencial particular.

Passo 6

Agora parte (b). Como \mathbf{F}=\nabla f, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (também chamado de Teorema de Gradiente): para qualquer curva C com pontos iniciais e finais A e B,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
Isso elimina a necessidade de integrar componente a componente ao longo da parametrização — basta avaliar f nos extremos da curva.

Passo 7

Determinar os pontos inicial e final da curva usando a parametrização \mathbf{r}(t).
  • Em t=0:
x(0)=e^{0}\sin 0=0,\qquad y(0)=e^{0}\cos 0=1,
logo ponto inicial A=(0,1).
  • Em t=\pi:
x(\pi)=e^{\pi}\sin\pi=0,\qquad y(\pi)=e^{\pi}\cos\pi=e^{\pi}(-1)=-e^{\pi},
logo ponto final B=(0,-e^{\pi}).

Passo 8

Avaliar f em B e em A. Lembre que escolhemos f(x,y)=3x + x^{2}y - y^{3} (constante C=0 sem perda de generalidade).
  • Para A=(0,1):
f(0,1)=3\cdot 0 + 0^{2}\cdot 1 - 1^{3} = -1.
  • Para B=(0,-e^{\pi}):
f(0,-e^{\pi})=3\cdot 0 + 0^{2}\cdot(-e^{\pi}) - (-e^{\pi})^{3}.
Calculemos (-e^{\pi})^{3}=-(e^{\pi})^{3}=-e^{3\pi}. Então
f(0,-e^{\pi}) = -\bigl(-e^{3\pi}\bigr) = e^{3\pi}.

Passo 9

Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)=e^{3\pi}-(-1)=e^{3\pi}+1.

Resposta

f(x,y)=3x+x^{2}y-y^{3}+C (constante C arbitrária).
\displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=e^{3\pi}+1

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