(a) Se
, encontre uma função de
tal que
.
(b) Calcule a integral de linha
, onde
é a curva dada por
(b) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Encontrar uma função
tal que , onde . - (b) Calcular a integral de linha
ao longo da curva dada por
Informações dadas que são relevantes:
- A componente
de é . - A componente
de é . - A curva
está parametrizada por e , com variando de a .
Passo 2
Verificar se
é um campo gradiente (conservativo) — isso nos diz se existe
com
. Em
um teste simples é comparar
com
. Calculemos:
Como
para todo
, o campo é conservativo em todo
(domínio simplesmente conexo), logo existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Agora vamos construir
. Se
, então
Integrando essa igualdade em relação a
(tratando
como constante) obtemos
até uma função que depende só de
:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 4
Para determinar
usamos a condição sobre
. Diferenciando a expressão obtida para
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Passo 5
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante real. Substituindo em
obtemos a função potencial completa:
Podemos escolher
se quisermos uma potencial particular.
Passo 6
Agora parte (b). Como
, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (também chamado de Teorema de Gradiente): para qualquer curva
com pontos iniciais e finais
e
,
Isso elimina a necessidade de integrar componente a componente ao longo da parametrização — basta avaliar
nos extremos da curva.
Passo 7
Determinar os pontos inicial e final da curva usando a parametrização
.
- Em
:
logo ponto inicial
.
- Em
:
logo ponto final
.
Passo 8
Avaliar
em
e em
. Lembre que escolhemos
(constante
sem perda de generalidade).
- Para
:
- Para
:
Calculemos
. Então
Passo 9
Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: