6 Teorema Seja \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j} um campo vetorial em uma região aberta simplesmente conexa D. Suponha que P e Q tenham derivadas contínuas de primeira ordem e que \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \quad \text { em todo } \circ D Então \mathbf{F} é conservativo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dado: um campo vetorial \mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j} definido numa região aberta simplesmente conexa D.
Dado: as funções P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D.
Dado: em todo ponto de D vale a igualdade \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Pedido: provar que \mathbf{F} é conservativo, isto é, mostrar que existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} (ou equivalentemente que a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos independe do caminho).
Passo 2
O que significa ser conservativo e a estratégia geral.
Definição prática: \mathbf{F} é conservativo se existe \varphi tal que \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P e \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q. Outra caracterização equivalente: integrais de linha de \mathbf{F} entre dois pontos dependem só dos pontos, não do caminho.
Estratégia escolhida (método): construir explicitamente uma função \varphi por meio de uma integral de linha a partir de um ponto base fixo e provar que essa construção é bem-definida (independe do caminho). Depois mostrar que as derivadas parciais de \varphi coincidem com P e Q. Para garantir independência de caminho usaremos o fato de que \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0 e o teorema de Green (que relaciona integral de linha em contorno com integral dupla do rotacional).
Passo 3
Escolha do ponto base e definição da candidata a potencial.
Seja um ponto fixo qualquer (x_0,y_0)\in D. Como D é aberta e simplesmente conexa, para qualquer (x,y)\in D existe pelo menos um caminho suave dentro de D que liga (x_0,y_0) a (x,y).
Defina \varphi por
\varphi(x,y)=\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy,
onde \gamma é qualquer curva suave em D que vai de (x_0,y_0) até (x,y). A tarefa é mostrar que essa \varphi não depende da escolha de \gamma (ou seja, é bem-definida) e que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Passo 4
Provar que \varphi é bem-definida: integral independente do caminho.
Tome dois caminhos suaves \gamma_1 e \gamma_2 em D que vão de (x_0,y_0) a (x,y). Considere a curva fechada \Gamma formada por \gamma_1 seguida de -\gamma_2 (isto é, \gamma_2 percorrida no sentido inverso). Então
Se conseguirmos mostrar que \displaystyle \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=0 para toda curva fechada \Gamma em D, então as integrais ao longo de \gamma_1 e \gamma_2 são iguais e \varphi é bem-definida.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green para mostrar que a integral fechada é zero.
Teorema de Green (forma usada): se R é uma região do plano com fronteira \partial R positivamente orientada e P,Q têm derivadas contínuas em R, então
Observação: embora Green seja enunciado para regiões com fronteira razoável, numa região simplesmente conexa qualquer curva fechada \Gamma é fronteira de alguma região R\subset D (podemos “preencher” a curva), portanto podemos aplicar Green.
Pelo dado do enunciado temos \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 em D. Assim, pela fórmula de Green,
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}0\,dA=0.
Conclusão: qualquer integral de linha entre dois pontos em D é independente do caminho. Logo \varphi está bem-definida.
Passo 6
Provar que \varphi tem as derivadas parciais corretas: cálculo de \partial \varphi/\partial x.
Para mostrar \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y)=P(x,y), use um pequeno incremento em x. Como a integral é independente do caminho, escolhemos para calcular \varphi(x+h,y) um caminho formado por: primeiro \gamma de (x_0,y_0) a (x,y) (o mesmo usado para \varphi(x,y)), depois um segmento horizontal S_h de (x,y) até (x+h,y). Então
pela continuidade de P. Portanto \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y)=P(x,y).
Passo 7
Provar que \partial \varphi/\partial y = Q.
Argumento análogo ao passo anterior: para um pequeno incremento k em y escolhemos um segmento vertical de (x,y) até (x,y+k). Como a integral é independente do caminho,
Como \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P e \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q, temos \nabla\varphi=\mathbf{F}. Logo \mathbf{F} é conservativo.
Observação importante sobre hipóteses: a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x (ou seja, rotacional nulo) sozinha não garante conservatividade se D não for simplesmente conexa — a hipótese de região simplesmente conexa é essencial. Um exemplo clássico é o campo \displaystyle \mathbf{F}=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right) definido em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}: tem \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x fora da origem, mas não é conservativo porque o domínio não é simplesmente conexo (há um “buraco” na origem).
Resposta
\mathbf{F} é conservativo (existe \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}).