Questão 5 - Lei dos gases ideais e relações termodinâmicas

Um reservatório cilíndrico rígido é utilizado em um processo industrial para armazenar ar em condições controladas. O ar pode ser tratado, nas condições de operação, como um gás ideal. Durante a operação, o reservatório passa por diferentes estados termodinâmicos, mantendo sempre equilíbrio interno.

Dados

  • Volume do reservatório: V=0,80 \mathrm{~m}^{3}.
  • Massa de ar contida no reservatório: m=1,0 \mathrm{~kg}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=300 \mathrm{~K}.
  • Pressão inicial: P_{1}=300 \mathrm{kPa}.
  • Temperatura final após aquecimento: T_{2}=450 \mathrm{~K}.
  • Constante dos gases para o ar: R=287 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}.

Pede-se

a) Crie uma representação física para o problema com uma cara de engenharia (mesmo em nível introdutório).
b) Identifique, a partir da lei dos gases ideais, quais relações entre grandezas termodinâmicas estão implícitas nesse modelo e explique o significado físico de cada uma.
c) Escreva a equação de estado do gás ideal adequada para esse sistema e determine a pressão final P_{2}.
d) Explique o significado físico da constante dos gases ideais R e discuta em que condições o modelo de gás ideal é válido.
e) Discuta como a lei dos gases ideais é utilizada no contexto da Termodinâmica, especificamente em:
  • termometria;
  • calorimetria envolvendo gases;
  • aplicação da Primeira Lei da Termodinâmica.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
Dados fornecidos:
  • V=0,80\\ \mathrm{m}^{3}.
  • m=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • T_{1}=300\\ \mathrm{K}.
  • P_{1}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • T_{2}=450\\ \mathrm{K}.
  • R=287\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
Perguntas (o que o enunciado pede):
a) Criar uma representação física do problema (visão de engenharia).
b) Identificar, a partir da lei dos gases ideais, quais relações entre as grandezas termodinâmicas estão implícitas e explicar o significado físico de cada uma.
c) Escrever a equação de estado adequada e determinar a pressão final P_{2}.
d) Explicar o significado físico da constante dos gases ideais R e discutir quando o modelo de gás ideal é válido.
e) Discutir como a lei dos gases ideais é usada em: termometria; calorimetria envolvendo gases; aplicação da Primeira Lei da Termodinâmica.

Passo 2

Representação física (visão de engenharia, em nível introdutório).
Imagine um cilindro rígido e estanque (paredes fixas, volume constante) contendo ar. O que temos, em linguagem de engenharia simples:
  • Um volume confinado V=0,80\\ \mathrm{m}^{3} (o cilindro).
  • Massa de ar presa no cilindro m=1,0\\ \mathrm{kg} (não entra nem sai massa).
  • Instrumentação típica: termômetro interno que mede T e um manômetro que mede P.
  • A condição inicial é (P_{1},T_{1}). O gás é aquecido até T_{2} (p. ex., aquecedor elétrico externo ou troca térmica), mantendo o recipiente rígido — logo o volume V e a massa m permanecem constantes. O aquecimento aumenta a energia interna e, por consequência, a pressão.
Esquematicamente: cilindro rígido (volume constante) + massa de ar presa + fonte de calor → temperatura sobe de T_{1} para T_{2} e pressão varia de P_{1} para P_{2}.

Passo 3

Lei dos gases ideais e relações implícitas — formulas e significado físico.
Fórmula básica (equação de estado do gás ideal, escrita para massa conhecida):
P\,V = m\,R\,T.
Explicando cada símbolo:
  • P é a pressão do gás (força por unidade de área exercida pelas colisões das moléculas nas paredes).
  • V é o volume total do reservatório.
  • m é a massa de gás no reservatório.
  • R é a constante específica do gás (constante dos gases por unidade de massa).
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin), medida por um termômetro.
Relações que surgem diretamente dessa equação quando alguma grandeza é mantida constante:
  1. Para massa e volume constantes ( m= const e V= const):
\frac{P}{T}=\text{consta nte},
ou seja
P\propto T \quad\text{(pressão é diretamente proporcional à temperatura)}.ãéà
Significado físico: com volume fixo e mesma quantidade de moléculas, aumentar T faz as moléculas se moverem mais rápido; colisões nas paredes ficam mais frequentes/mais energéticas, portanto P aumenta proporcionalmente.
  1. Em termos de densidade \rho:
\rho=\frac{m}{V}, \qquad P=\rho\,R\,T.
Significado físico: P também é proporcional à densidade e à temperatura; para uma dada T, mais massa no mesmo volume (maior \rho) gera maior pressão.
  1. Forma molar (apenas para referência):
P\,V = n\,\bar{R}\,T,
onde n é o número de mols e \bar{R} é a constante universal dos gases. Essa forma é útil quando se trabalha com quantidades molares.
Exemplo numérico rápido (apenas para intuir grandezas):
  • Densidade do ar no reservatório:
\rho=\frac{m}{V}=\frac{1,0}{0,80}=1,25\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
Isso é coerente com ar em condições moderadas (ordem de 1\\ \mathrm{kg/m^{3}}).

Passo 4

Derivação prática para obter P_{2} (duas formas) e checagem de consistência dos dados.
Método A — usar a equação de estado diretamente (conhecendo m,R,V,T):
P_{2}=\frac{m\,R\,T_{2}}{V}.
Calculando:
P_{2}'=\frac{1{,}0\cdot 287\cdot 450}{0{,}80}=\frac{129150}{0{,}80}=161437{,}5\\ \mathrm{Pa}=161{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Método B — usar a relação entre P e T para processo em volume constante (mais direto quando se conhece P_{1} e as temperaturas):
A partir de P V = m R T com m e V constantes:
\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}} \quad\Rightarrow\quad P_{2}=P_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.
Calculando:
P_{2}=300\\ \mathrm{kPa}\cdot\frac{450}{300}=300\\ \mathrm{kPa}\cdot 1{,}5=450\\ \mathrm{kPa}.
Observação importante sobre consistência dos dados:
  • Se aplicarmos a equação de estado com os dados iniciais m,R,V,T_{1}, obtemos uma pressão inicial estimada
P_{1}'=\frac{m\,R\,T_{1}}{V}=\frac{1{,}0\cdot 287\cdot 300}{0{,}80}=107625\\ \mathrm{Pa}=107{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Esse valor difere do P_{1}=300\\ \mathrm{kPa} fornecido no enunciado. Portanto há uma inconsistência numérica entre (m,V,T_{1}) e o valor informado de P_{1}.
Como proceder (decisão prática): em problemas de engenharia de reservatório rígido normalmente se confia na medição P_{1} e nas temperaturas para prever P_{2} pelo fato do processo ser de volume constante (relação \,P\propto T). Assim, é mais apropriado usar o Método B (que usa o dado direto P_{1}) para obter P_{2}=450\\ \mathrm{kPa}. O resultado do Método A ( 161{,}4\\ \mathrm{kPa}) é o que se obtém se os valores m e V realmente determinassem o estado inicial — nessa situação então ou m, ou V ou P_{1} estavam errados/incompatíveis.
Conclusão prática para o exercício: adotando os dados fornecidos tal como estão e a condição física de recipiente rígido, a resposta mais coerente para P_{2} é
P_{2}=450\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Significado físico de R e validade do modelo de gás ideal.
Significado de R:
  • R é a constante específica do gás (por unidade de massa). Relaciona energia térmica por unidade de massa, temperatura e pressão/volume do gás.
  • Está ligada à constante universal dos gases \bar{R} pela massa molar M do gás:
R=\frac{\bar{R}}{M}.
Para o ar seco, M\approx 28{,}97\\ \mathrm{g/mol} e isso dá R\approx 287\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1} (o valor fornecido).
Validade do modelo de gás ideal (quando é razoável usar P V = m R T):
  • Válido quando as interações intermoleculares são desprezíveis e o volume ocupado pelas moléculas é pequeno comparado ao volume do recipiente. Em termos práticos:
    • Pressões não extremamente altas (ordem de 1 atm até algumas dezenas de atm em muitos casos).
    • Temperaturas que não estejam tão próximas do ponto de liquefação do gás.
    • Gases diatômicos ou poliatômicos em condições moderadas de temperatura (quando modos vibracionais não excitados não alteram comportamento macroscópico).
  • NÃO válido quando há:
    • Altas pressões (quando volumes próprios das moléculas importam).
    • Temperaturas muito baixas próximas à condensação.
    • Gases com fortes forças intermoleculares (ex.: vapor próximo à saturação).
  • Em engenharia, o modelo ideal é uma boa aproximação para o ar em muitas aplicações correntes (condições ambiente e processos industriais comuns) — mas deve-se verificar a faixa de pressão/temperatura para justificar seu uso.

Passo 6

Uso da lei dos gases ideais em termometria.
  • Termômetro de volume constante (termômetro gasométrico): se o volume e a massa do gás são mantidos constantes, então a pressão é proporcional à temperatura absoluta:
\frac{P}{T}=\text{constante}.
Logo, medindo P pode-se inferir T por T\propto P. Essa é a ideia básica de termômetros que usam um gás confinado (método prático: calibrar em um ponto conhecido, depois medir pressões).
  • Termometria absoluta: a escala Kelvin tem relação direta com comportamento linear ideal em volume constante; gases reais requerem correções, mas o princípio vem da proporcionalidade P\propto T.

Passo 7

Uso da lei dos gases ideais em calorimetria envolvendo gases.
  • A relação P V = m R T permite relacionar variações de T (medidas calorimétricas) com variações de P ou V.
  • Em um processo a volume constante ( V= const), o trabalho realizado pelo gás W=\int P\,dV=0. Pela Primeira Lei da Termodinâmica:
\Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad \Delta U = Q \quad(\text{quando }V=\text{const}).
Para gás ideal mono- ou poliatômico (aplicando capacidades caloríficas):
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}),
então
Q = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}).
  • Assim, conhecendo Q ou medindo \Delta T, pode-se obter c_{v} experimentalmente; e a lei dos gases ideais fornece a consistência entre P,V,T durante o processo.

Passo 8

Uso da lei dos gases ideais na Primeira Lei da Termodinâmica (aplicações práticas).
  • A Primeira Lei é \Delta U = Q - W. A lei dos gases ideais dá relações entre P,V,T necessárias para calcular W e \Delta U:
    • Trabalho em processo qualquer: W=\int_{1}^{2} P\,dV. Se o processo for isotérmico para gás ideal, pode-se escrever P=\dfrac{mR T}{V} (com T constante) e integrar para obter W.
    • Para processos cujas variáveis não são todas conhecidas, a equação de estado fornece a relação que fecha o sistema de equações e permite calcular Q e W.
  • Exemplos:
    • Processo isotérmico reversível: W = m R T \ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right).
    • Processo isocórico ( V constante): W=0 e Q=\Delta U=m c_{v}\Delta T.
    • Processo isobárico: trabalho W = P (V_{2}-V_{1}); usar P V = m R T para relacionar V e T se necessário.
  • Em resumo, a lei dos gases ideais é a ligação algebraica que permite converter uma variação térmica em variação de pressão/volume para poder aplicar a Primeira Lei e calcular energia, calor e trabalho.

Passo 9

Recapitulando a solução numérica e nota prática final.
  • Há uma inconsistência entre os dados m,V,T_{1} e o valor informado P_{1} se todas as grandezas forem tomadas literalmente. Calculando com a equação de estado a partir de m e V obtém-se P_{1}'=107{,}6\\ \mathrm{kPa} em vez de 300\\ \mathrm{kPa}.
  • Em termos práticos de engenharia (recipiente rígido, medição direta de P_{1}), usa-se a relação P_{2}=P_{1}\,T_{2}/T_{1}, o que dá a resposta coerente com a observação inicial: P_{2}=450\\ \mathrm{kPa}.
  • Alternativamente, se os valores m e V forem os determinantes do problema (por exemplo se o valor de P_{1} era incorreto), então aplicando P_{2}=(m R T_{2})/V obtém-se P_{2}=161{,}4\\ \mathrm{kPa}. Ambas as contas estão corretas, mas correspondem a hipóteses diferentes sobre qual dado é confiável.

Resposta

a) Cilindro rígido e estanque com volume V=0,80\\ \mathrm{m}^{3}, massa fixa m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, manômetro para P e termômetro para T; aquecimento eleva T de 300\\ \mathrm{K} para 450\\ \mathrm{K} mantendo V constante.
b) Da equação \,P V = m R T: (i) se m,V constantes então P\propto T ( P/T= const); (ii) P=\rho R T com \rho=m/V; significado físico: aumento de T aumenta energia cinética molecular e, com volume fixo, aumenta pressão; densidade relaciona quantidade de matéria ao efeito de pressão.
c) Equação de estado: \,P V = m R T. Tomando P_{1} e a condição V constante, P_{2}=P_{1}\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=450\\ \mathrm{kPa}. (Se for usado somente m,R,V,T_{2} obtém-se P_{2}=161{,}4\\ \mathrm{kPa}; nota: há inconsistência entre m,V,T_{1} e o P_{1} fornecido.)
d) R é a constante específica do gás (por unidade de massa), ligada à constante universal por R=\bar{R}/M; fisicamente relaciona energia térmica por massa e temperatura. O modelo de gás ideal é válido quando interações intermoleculares e volumes próprios das moléculas são desprezíveis (pressões moderadas e temperaturas acima da liquefação); falha em altas pressões/temperaturas próximas à condensação.
e) Termometria: termômetros gasométricos exploram P\propto T (em V constante) para medir T. Calorimetria: em V constante Q=\Delta U=m c_{v}\Delta T; a lei dos gases liga T a P,V para interpretar mudanças térmicas. Primeira Lei: \Delta U=Q-W; a equação de estado fornece as relações P(V,T) necessárias para calcular W=\int P\,dV e fechar problemas termodinâmicos.

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