Integrate
over the given region.
Rectangle
over the rectangle
,
Rectangle
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre o retângulo definido por
e
.
Informações dadas:
- A função é
. - A região de integração é o retângulo
.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Em retângulos, quando a função é contínua, vale o teorema de Fubini: podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Mais precisamente,
e ambas as ordens de integração dão o mesmo resultado. Aqui
é contínua no retângulo, então Fubini se aplica.
Passo 3
Escolho integrar primeiro em relação a
(integração interna
), porque tratando
como constante a integral
tem antiderivada simples. Em provas essa escolha é prática para economizar tempo.
Passo 4
Calcular a integral interna com
fixa. Observação de cálculo: a derivada em
de
é
portanto uma antiderivada de
em relação a
é
. Assim,
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites de
:
Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 6
Calcular
. Uma antiderivada é
, pois
Avaliaremos nos limites:
Agora use
e
:
Passo 7
Resumo e observação final: a escolha de integrar em
primeiro foi porque a antiderivada em
simplifica eleganter, e o resultado final é
. Se tivesse integrado em
primeiro teria sido possível também, mas daria trabalho extra (integração por partes ou substituição mais longa).