Integrate f over the given region.
Rectangle f(x, y)=y \cos x y over the rectangle 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=y\cos(xy) sobre o retângulo definido por 0\le x\le\pi e 0\le y\le1.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y\cos(xy).
  • A região de integração é o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\\\ 0\le y\le1\}.
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \iint_{R} y\cos(xy)\,dA.

Passo 2

Em retângulos, quando a função é contínua, vale o teorema de Fubini: podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Mais precisamente,
\iint_{R} y\cos(xy)\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{\pi} y\cos(xy)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{\pi}\!\int_{y=0}^{1} y\cos(xy)\,dy\,dx,
e ambas as ordens de integração dão o mesmo resultado. Aqui f é contínua no retângulo, então Fubini se aplica.

Passo 3

Escolho integrar primeiro em relação a x (integração interna \int_{0}^{\pi} \cdot\,dx), porque tratando y como constante a integral \int y\cos(xy)\,dx tem antiderivada simples. Em provas essa escolha é prática para economizar tempo.

Passo 4

Calcular a integral interna com y fixa. Observação de cálculo: a derivada em x de \sin(xy) é
\frac{d}{dx}\sin(xy)=y\cos(xy),
portanto uma antiderivada de y\cos(xy) em relação a x é \sin(xy). Assim,
\int_{x=0}^{\pi} y\cos(xy)\,dx = \Big[\sin(xy)\Big]_{x=0}^{x=\pi}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites de x:
\Big[\sin(xy)\Big]_{0}^{\pi} = \sin(\pi y)-\sin(0)=\sin(\pi y).
Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\iint_{R} y\cos(xy)\,dA = \int_{y=0}^{1} \sin(\pi y)\,dy.

Passo 6

Calcular \int_{0}^{1}\sin(\pi y)\,dy. Uma antiderivada é -\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi y), pois
\frac{d}{dy}\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi y)\right)=\sin(\pi y).
Avaliaremos nos limites:
\int_{0}^{1}\sin(\pi y)\,dy = \Big[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi y)\Big]_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}\big(\cos(\pi)-\cos(0)\big).
Agora use \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1:
-\frac{1}{\pi}\big(-1-1\big) = -\frac{1}{\pi}(-2)=\frac{2}{\pi}.

Passo 7

Resumo e observação final: a escolha de integrar em x primeiro foi porque a antiderivada em x simplifica eleganter, e o resultado final é \dfrac{2}{\pi}. Se tivesse integrado em y primeiro teria sido possível também, mas daria trabalho extra (integração por partes ou substituição mais longa).

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

Exercícios relacionados