1 Calcule pelos dois métodos vistos (Soma de Riemann E INTEGRAIS ITERADAS) O VOLUME DO SÓLIDO ABAIXO DO GRÁFICO DA FUNC̨ĀO f e ACIMA DA REGIAD RETANGULAR R.
\begin{aligned} & f(x, y)=x^{2}+2 y^{2} \\\ & R=\{(x, y) ; 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 3\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do gráfico da função f e acima da região retangular R. As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
  • A região é R=\{(x,y)\,;\;0\le x\le 1\\ \text{e}\\\ 0\le y\le 3\}.
O que precisamos retornar:
  • O volume do sólido acima de R e abaixo da superfície z=f(x,y), calculado por dois métodos: (i) soma de Riemann (passando ao limite) e (ii) integrais iteradas (dupla integral avaliada por integração iterada).

Passo 2

Explicando a ideia da Soma de Riemann (passo a passo):
  • A interpretação geométrica: o volume sob a superfície z=f(x,y) sobre o retângulo R é a soma (no limite) de volumes de pequenas colunas retangulares de base \Delta A e altura aproximada f avaliada num ponto da célula.
  • Procedimento prático: particionamos o intervalo 0\le x\le1 em m subintervalos iguais de largura \Delta x=\dfrac{1}{m} e o intervalo 0\le y\le3 em n subintervalos iguais de largura \Delta y=\dfrac{3}{n}. Cada subretângulo tem área \Delta A=\Delta x\,\Delta y.
  • Escolhemos pontos amostrais (por exemplo os extremos direitos) em cada subretângulo: x_i=i\Delta x=\dfrac{i}{m} para i=1,\dots,m e y_j=j\Delta y=\dfrac{3j}{n} para j=1,\dots,n.
  • A soma de Riemann é
S_{m,n}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_i,y_j)\,\Delta A.
No limite m,n\to\infty essa soma tende ao volume procurado.

Passo 3

Construindo explicitamente a soma usando f(x,y)=x^{2}+2y^{2} e \Delta A=\Delta x\,\Delta y:
S_{m,n}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\big(x_i^{2}+2y_j^{2}\big)\Delta x\,\Delta y.
Separando as somas (pois é soma de termos que dependem só de i ou só de j):
S_{m,n}=\Delta x\,\Delta y\left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}x_i^{2}\;+\;2\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}y_j^{2}\right).
Agora simplificamos somando sobre o índice que dá contagens:
\sum_{j=1}^{n}x_i^{2}=n\,x_i^{2}\quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{m}y_j^{2}=m\,y_j^{2}.
Portanto
S_{m,n}=\Delta x\,\Delta y\left(n\sum_{i=1}^{m}x_i^{2}+2m\sum_{j=1}^{n}y_j^{2}\right).

Passo 4

Substituindo \Delta x=\dfrac{1}{m}, \Delta y=\dfrac{3}{n}, x_i=\dfrac{i}{m} e y_j=\dfrac{3j}{n}:
  • Primeiro coeficiente:
n\,\Delta x\,\Delta y=n\cdot\frac{1}{m}\cdot\frac{3}{n}=\frac{3}{m}.
  • Segundo coeficiente:
m\,\Delta x\,\Delta y=m\cdot\frac{1}{m}\cdot\frac{3}{n}=\frac{3}{n}.
Assim
S_{m,n}=\frac{3}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(\frac{i}{m}\right)^{2}+2\cdot\frac{3}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{3j}{n}\right)^{2}.
Simplificando cada soma:
\frac{3}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{i^{2}}{m^{2}}=\frac{3}{m^{3}}\sum_{i=1}^{m}i^{2},
2\cdot\frac{3}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{9j^{2}}{n^{2}}=\frac{54}{n^{3}}\sum_{j=1}^{n}j^{2}.

Passo 5

Usamos a fórmula conhecida para a soma dos quadrados:
\sum_{k=1}^{N}k^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
Aplicando para cada soma:
\frac{3}{m^{3}}\sum_{i=1}^{m}i^{2}=\frac{3}{m^{3}}\cdot\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{2m^{3}}=\frac{(m+1)(2m+1)}{2m^{2}}.
\frac{54}{n^{3}}\sum_{j=1}^{n}j^{2}=\frac{54}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=9\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}=9\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.
Portanto
S_{m,n}=\frac{(m+1)(2m+1)}{2m^{2}}+9\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.

Passo 6

Tomamos o limite quando a malha refinada m,n\to\infty. Avaliando os limites termo a termo:
  • Para o primeiro termo
\lim_{m\to\infty}\frac{(m+1)(2m+1)}{2m^{2}}=\lim_{m\to\infty}\frac{2m^{2}+3m+1}{2m^{2}}=1.
  • Para o segundo termo
\lim_{n\to\infty}9\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}=9\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}}=9\cdot 2=18.
Somando os limites:
\lim_{m,n\to\infty}S_{m,n}=1+18=19.
Conclusão do método da soma de Riemann: o volume é 19.

Passo 7

Agora pelo método das integrais iteradas (mais direto): o volume sob z=f(x,y) sobre R é a integral dupla
V=\iint_{R} (x^{2}+2y^{2})\,dA.
Como R é um retângulo com 0\le x\le1 e 0\le y\le3, podemos escrever a integral iterada (primeiro em y, depois em x):
V=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{3}(x^{2}+2y^{2})\,dy\right)dx.

Passo 8

Calculando a integral interna em y. Lembre-se das primitivas:
\int x^{2}\,dy=x^{2}y\quad\text{(pois \(x\) é constante em relação a \(y\))},éçã
\int 2y^{2}\,dy=2\cdot\frac{y^{3}}{3}=\frac{2}{3}y^{3}.
Portanto
\int_{0}^{3}(x^{2}+2y^{2})\,dy=\left[x^{2}y+\frac{2}{3}y^{3}\right]_{0}^{3}=x^{2}\cdot 3+\frac{2}{3}\cdot 27=3x^{2}+18.

Passo 9

Agora integramos em x:
V=\int_{0}^{1}(3x^{2}+18)\,dx=3\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+18\int_{0}^{1}1\,dx.
Calcule as primitivas:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1}1\,dx=1.
Substituindo:
V=3\cdot\frac{1}{3}+18\cdot 1=1+18=19.

Passo 10

Comparação e interpretação final: ambos os métodos (soma de Riemann, passando ao limite, e integração iterada) resultaram no mesmo valor, o que confirma que o volume do sólido pedido é 19. Bom trabalho — deu tudo certo, e agora você tem os dois caminhos para usar na prova: o conceitual (Riemann) e o prático (integrais iteradas).

Resposta

19

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