1 Calcule pelos dois métodos vistos (Soma de Riemann E INTEGRAIS ITERADAS) O VOLUME DO SÓLIDO ABAIXO DO GRÁFICO DA FUNC̨ĀO f e ACIMA DA REGIAD RETANGULAR R.
\begin{aligned} & f(x, y)=x^{2}+2 y^{2} \\\ & R=\{(x, y) ; 0 \leqslant x \leqslant 1 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 3\} \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do gráfico da função f e acima da região retangular R. As informações dadas são:
A função é f(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
A região é R=\{(x,y)\,;\;0\le x\le 1\\ \text{e}\\\ 0\le y\le 3\}.
O que precisamos retornar:
O volume do sólido acima de R e abaixo da superfície z=f(x,y), calculado por dois métodos: (i) soma de Riemann (passando ao limite) e (ii) integrais iteradas (dupla integral avaliada por integração iterada).
Passo 2
Explicando a ideia da Soma de Riemann (passo a passo):
A interpretação geométrica: o volume sob a superfície z=f(x,y) sobre o retângulo R é a soma (no limite) de volumes de pequenas colunas retangulares de base \Delta A e altura aproximada f avaliada num ponto da célula.
Procedimento prático: particionamos o intervalo 0\le x\le1 em m subintervalos iguais de largura \Delta x=\dfrac{1}{m} e o intervalo 0\le y\le3 em n subintervalos iguais de largura \Delta y=\dfrac{3}{n}. Cada subretângulo tem área \Delta A=\Delta x\,\Delta y.
Escolhemos pontos amostrais (por exemplo os extremos direitos) em cada subretângulo: x_i=i\Delta x=\dfrac{i}{m} para i=1,\dots,m e y_j=j\Delta y=\dfrac{3j}{n} para j=1,\dots,n.
A soma de Riemann é
S_{m,n}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_i,y_j)\,\Delta A.
No limite m,n\to\infty essa soma tende ao volume procurado.
Passo 3
Construindo explicitamente a soma usando f(x,y)=x^{2}+2y^{2} e \Delta A=\Delta x\,\Delta y:
S_{m,n}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\big(x_i^{2}+2y_j^{2}\big)\Delta x\,\Delta y.
Separando as somas (pois é soma de termos que dependem só de i ou só de j):
Comparação e interpretação final: ambos os métodos (soma de Riemann, passando ao limite, e integração iterada) resultaram no mesmo valor, o que confirma que o volume do sólido pedido é 19. Bom trabalho — deu tudo certo, e agora você tem os dois caminhos para usar na prova: o conceitual (Riemann) e o prático (integrais iteradas).