Questão 8. Prove que as operações de adição e multiplicação em \mathbb{Q} estão bem definidas.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que as operações de adição e multiplicação em \mathbb{Q} estão bem definidas.
Informações e definições que vou usar (essas são as hipóteses implícitas sobre \mathbb{Q} que o exercício pressupõe):
  • Racionais são construídos como classes de equivalência de pares (a,b) com a\in\mathbb{Z} e b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
  • A relação de equivalência \sim em \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}) é dada por: (a,b)\sim(c,d)\quad\text{se, e somente se,}\quad ad=bc.
  • A classe de equivalência de (a,b) será denotada por [(a,b)]; essa classe corresponde ao racional usual a/b.
  • As operações são definidas em representantes por: [(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,\,bd)]
[(a,b)]\cdot[(c,d)]:=[(ac,\,bd)].
Tarefa precisa ser provada: se (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d') então
(ad+bc,\,bd)\sim(a'd'+b'c',\,b'd')
e
(ac,\,bd)\sim(a'c',\,b'd'),
ou seja, os resultados não dependem da escolha de representantes.

Passo 2

Explicando claramente o que significa “bem definido” (sem pular etapas):
Uma operação definida em classes de equivalência é bem definida se, ao trocar representantes de uma mesma classe, o resultado permanece na mesma classe. Formalmente: para adição, a afirmação a provar é:
Se (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'), então
[(ad+bc,\,bd)]=[(a'd'+b'c',\,b'd')].
Isto equivale a mostrar a igualdade entre produtos cruzados das componentes (pela definição da relação \sim):
(ad+bc)\cdot(b'd')=(a'd'+b'c')\cdot(bd).
Vou provar essa igualdade usando as hipóteses (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'), isto é, usando
ab'=a'b \quad\text{e}\quad cd'=c'd.

Passo 3

Prova da well-definedness da adição (conta passo a passo):
Queremos mostrar
(ad+bc)\,b'd'=(a'd'+b'c')\,bd.
Começo expandindo ambos os lados:
(ad+bc)\,b'd' = a d b' d' + b c b' d',
(a'd'+b'c')\,bd = a' d' b d + b' c' b d.
Agora uso as hipóteses para substituir de forma legítima:
  • Da hipótese (a,b)\sim(a',b') temos a b' = a' b. Multiplicando ambos os lados por d d' (número inteiro) obtém-se
a b' d d' = a' b d d'.
Pelo parenteses/associatividade e comutatividade da multiplicação inteira, isto pode ser reescrito como
a d b' d' = a' d' b d,
que mostra que o primeiro termo do lado esquerdo corresponde ao primeiro termo do lado direito.
  • Da hipótese (c,d)\sim(c',d') temos c d' = c' d. Multiplicando ambos os lados por b b' obtemos
b b' c d' = b b' c' d.
Rearranjando (novamente usando comutatividade/associatividade),
b c b' d' = b' c' b d,
que mostra que o segundo termo do lado esquerdo corresponde ao segundo termo do lado direito.
Somando as duas igualdades obtidas (as correspondências dos primeiros termos e dos segundos termos) conclui-se que
a d b' d' + b c b' d' = a' d' b d + b' c' b d,
ou seja,
(ad+bc)\,b'd'=(a'd'+b'c')\,bd.
Portanto (ad+bc,bd)\sim(a'd'+b'c',b'd'), e a adição está bem definida.

Passo 4

Comentário didático curto sobre a técnica usada na adição (para você aplicar na prova):
A ideia padrão é expandir o produto cruzado que define a equivalência e usar as igualdades dadas por representantes equivalentes ( ab'=a'b e cd'=c'd). Multiplicar essas igualdades por fatores auxiliares (aqui dd' e bb') e reordenar multiplicações comutativa/associativamente permite identificar termo a termo que se igualam. É uma técnica direta e sistemática: expandir, substituir usando as relações entre representantes, e reorganizar.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição):
Considere as classes [(1,2)]=[(2,4)] e [(1,3)]=[(2,6)] (porque 1\cdot4=2\cdot2 e 1\cdot6=2\cdot3). Usando a definição de adição por representantes:
[(1,2)]+[(1,3)]=[(1\cdot3+2\cdot1,\,2\cdot3)]=[(5,6)].
Usando outros representantes:
[(2,4)]+[(2,6)]=[(2\cdot6+4\cdot2,\,4\cdot6)]=[(12+8,\,24)]=[(20,24)].
E (20,24)\sim(5,6) porque 20\cdot6=120=5\cdot24. Assim os resultados representam a mesma classe racional (o racional 5/6), confirmando concretamente o que a prova simbólica mostrou.

Passo 6

Prova da well-definedness da multiplicação (conta passo a passo):
Queremos mostrar
(ac,bd)\sim(a'c',b'd'),
isto é,
(ac)\,b'd'=(a'c')\,bd.
Começo com o lado esquerdo e uso as hipóteses:
(ac)\,b'd' = a c b' d'.
Agrupando de forma conveniente:
a c b' d' = (a b') (c d').
Pelas hipóteses (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d') temos a b' = a' b e c d' = c' d. Substituindo:
(a b') (c d') = (a' b) (c' d).
Reagrupando:
(a' b) (c' d) = a' c' b d = (a' c')\,bd,
que é exatamente o lado direito desejado. Logo
(ac)\,b'd'=(a'c')\,bd,
ou seja, (ac,bd)\sim(a'c',b'd'). A multiplicação está bem definida.

Passo 7

Comentário final e encorajamento:
Pronto — as duas provas seguem o mesmo padrão: escrever a condição de equivalência para o resultado em termos de produto cruzado, expandir, e usar as relações ab'=a'b e cd'=c'd para transformar um lado no outro. Não é elegante por acaso: é a consequência direta de como escolhemos representar o racional por pares e da propriedade da multiplicação em \mathbb{Z}. Se sentir ansiedade na prova, lembra desse roteiro: expandir, substituir e reorganizar — é mecânico e seguro.

Resposta

A adição e a multiplicação em \mathbb{Q} estão bem definidas.

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