Questão 8. Prove que as operações de adição e multiplicação em
estão bem definidas.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que as operações de adição e multiplicação em
estão bem definidas.
Informações e definições que vou usar (essas são as hipóteses implícitas sobre
que o exercício pressupõe):
- Racionais são construídos como classes de equivalência de pares
com e . - A relação de equivalência
em é dada por: - A classe de equivalência de
será denotada por ; essa classe corresponde ao racional usual . - As operações são definidas em representantes por:
Tarefa precisa ser provada: se
e
então
e
ou seja, os resultados não dependem da escolha de representantes.
Passo 2
Explicando claramente o que significa “bem definido” (sem pular etapas):
Uma operação definida em classes de equivalência é bem definida se, ao trocar representantes de uma mesma classe, o resultado permanece na mesma classe. Formalmente: para adição, a afirmação a provar é:
Uma operação definida em classes de equivalência é bem definida se, ao trocar representantes de uma mesma classe, o resultado permanece na mesma classe. Formalmente: para adição, a afirmação a provar é:
Se
e
, então
Isto equivale a mostrar a igualdade entre produtos cruzados das componentes (pela definição da relação
):
Vou provar essa igualdade usando as hipóteses
e
, isto é, usando
Passo 3
Prova da well-definedness da adição (conta passo a passo):
Queremos mostrar
Começo expandindo ambos os lados:
Agora uso as hipóteses para substituir de forma legítima:
- Da hipótese
temos . Multiplicando ambos os lados por (número inteiro) obtém-se
Pelo parenteses/associatividade e comutatividade da multiplicação inteira, isto pode ser reescrito como
que mostra que o primeiro termo do lado esquerdo corresponde ao primeiro termo do lado direito.
- Da hipótese
temos . Multiplicando ambos os lados por obtemos
Rearranjando (novamente usando comutatividade/associatividade),
que mostra que o segundo termo do lado esquerdo corresponde ao segundo termo do lado direito.
Somando as duas igualdades obtidas (as correspondências dos primeiros termos e dos segundos termos) conclui-se que
ou seja,
Portanto
, e a adição está bem definida.
Passo 4
Comentário didático curto sobre a técnica usada na adição (para você aplicar na prova):
A ideia padrão é expandir o produto cruzado que define a equivalência e usar as igualdades dadas por representantes equivalentes ( e
). Multiplicar essas igualdades por fatores auxiliares (aqui
e
) e reordenar multiplicações comutativa/associativamente permite identificar termo a termo que se igualam. É uma técnica direta e sistemática: expandir, substituir usando as relações entre representantes, e reorganizar.
A ideia padrão é expandir o produto cruzado que define a equivalência e usar as igualdades dadas por representantes equivalentes (
Passo 5
Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição):
Considere as classes e
(porque
e
). Usando a definição de adição por representantes:
Considere as classes
Usando outros representantes:
E
porque
. Assim os resultados representam a mesma classe racional (o racional
), confirmando concretamente o que a prova simbólica mostrou.
Passo 6
Prova da well-definedness da multiplicação (conta passo a passo):
Queremos mostrar
isto é,
Começo com o lado esquerdo e uso as hipóteses:
Agrupando de forma conveniente:
Pelas hipóteses
e
temos
e
. Substituindo:
Reagrupando:
que é exatamente o lado direito desejado. Logo
ou seja,
. A multiplicação está bem definida.
Passo 7
Comentário final e encorajamento:
Pronto — as duas provas seguem o mesmo padrão: escrever a condição de equivalência para o resultado em termos de produto cruzado, expandir, e usar as relações e
para transformar um lado no outro. Não é elegante por acaso: é a consequência direta de como escolhemos representar o racional por pares e da propriedade da multiplicação em
. Se sentir ansiedade na prova, lembra desse roteiro: expandir, substituir e reorganizar — é mecânico e seguro.
Pronto — as duas provas seguem o mesmo padrão: escrever a condição de equivalência para o resultado em termos de produto cruzado, expandir, e usar as relações
Resposta
A adição e a multiplicação em
estão bem definidas.