Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
c) f(x)=\frac{1}{x}, em torno do ponto \bar{x}=2,5.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça a linearização do modelo dado por f(x)=\frac{1}{x} em torno do ponto de operação \bar{x}=2,5. Além disso devo escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo +0,1 e -0,1), avaliar a precisão do modelo linear nesses pontos e informar o erro percentual encontrado.
Informações dadas:
\;f(x)=\dfrac{1}{x}
\;\bar{x}=2,5
Vou usar os pontos x=2,6 (que é \bar{x}+0,1) e x=2,4 (que é \bar{x}-0,1) para avaliar a precisão.

Passo 2

Conceito e fórmula de linearização (aula rápida e prática). Para uma função \;f(x) suave perto de \bar{x}, a linearização (aproximação de primeira ordem, série de Taylor truncada) é:
f(x)\approx f(\bar{x}) + f'(\bar{x})\,(x-\bar{x}).
Aqui f(\bar{x}) é o valor da função no ponto de operação e f'(\bar{x}) é a derivada primeira no ponto de operação. A variável x é o ponto onde usamos a aproximação e (x-\bar{x}) é a pequena variação em relação ao ponto de operação. Essa fórmula significa: aproximamos a função por uma reta tangente à curva em \bar{x}.

Passo 3

Calcular f(\bar{x}). Como f(x)=\dfrac{1}{x}, temos
f(\bar{x}) = f(2,5) = \dfrac{1}{2,5} = 0,4.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) e avaliá‑la em \bar{x}. Derivando,
f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}.
Avalia em \bar{x}=2,5:
f'(2,5) = -\dfrac{1}{(2,5)^{2}} = -\dfrac{1}{6,25} = -0,16.
Pequena explicação: 2,5^{2}=6,25 e 1/6,25=0,16, com sinal negativo porque a função 1/x decresce.

Passo 5

Escrever o modelo linearizado. Usando a fórmula do Passo 2:
f_{\text{lin}}(x) = f(2,5) + f'(2,5)\,(x-2,5).
Substituindo os valores:
f_{\text{lin}}(x) = 0,4 - 0,16\,(x-2,5).
Opcionalmente, expandindo:
f_{\text{lin}}(x) = 0,8 - 0,16\,x.
As duas formas são equivalentes; a primeira é mais clara para ver a aproximação por variação (x-2,5).

Passo 6

Escolher pontos próximos e calcular valores reais e aproximados. Vou usar \Delta x=+0,1 e \Delta x=-0,1, isto é x=2,6 e x=2,4.
Para x=2,6:
  • Valor real:
f(2,6)=\dfrac{1}{2,6}=\dfrac{5}{13}\approx 0,384615\ldots
(obs.: notei que \dfrac{1}{2,6}=\dfrac{10}{26}=\dfrac{5}{13}, fração exata)
  • Valor linear aproximado:
f_{\text{lin}}(2,6)=0,4-0,16\cdot(2,6-2,5)=0,4-0,16\cdot0,1=0,4-0,016=0,384.
  • Erro absoluto:
|f(2,6)-f_{\text{lin}}(2,6)| \approx |0,384615\ldots - 0,384| = 0,000615384\ldots
  • Erro percentual (relativo ao valor verdadeiro), usando a fórmula
\text{erro\%}=\dfrac{|f(x)-f_{\text{lin}}(x)|}{|f(x)|}\times 100\%:
\text{erro\%}_{2,6} \approx \dfrac{0,000615384\ldots}{0,384615\ldots}\times 100\% = 0,16\%.
Para x=2,4:
  • Valor real:
f(2,4)=\dfrac{1}{2,4}=\dfrac{5}{12}\approx 0,416666\ldots
  • Valor linear aproximado:
f_{\text{lin}}(2,4)=0,4-0,16\cdot(2,4-2,5)=0,4-0,16\cdot(-0,1)=0,4+0,016=0,416.
  • Erro absoluto:
|f(2,4)-f_{\text{lin}}(2,4)| \approx |0,416666\ldots - 0,416| = 0,000666666\ldots
  • Erro percentual:
\text{erro\%}_{2,4} \approx \dfrac{0,000666666\ldots}{0,416666\ldots}\times 100\% = 0,16\%.
Observação prática: os erros ficam praticamente simétricos para \pm 0,1 porque a segunda derivada da função é relativamente pequena no intervalo considerado.

Passo 7

Estimativa do erro pela segunda derivada (explicação para entender por que o erro é desse tamanho). A segunda derivada é
f''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}.
Em x=2,5,
f''(2,5)=\dfrac{2}{(2,5)^{3}}=\dfrac{2}{15,625}=0,128.
O termo de resto de segunda ordem na expansão de Taylor (estimativa) para \Delta x=0,1 é aproximadamente
R\approx \dfrac{f''(2,5)}{2}(\Delta x)^{2} = \dfrac{0,128}{2}\cdot(0,1)^{2}=0,00064,
que é muito próximo aos erros absolutos calculados (0,000615 e 0,000667). Isso confirma que a aproximação linear é muito boa para variações de \pm 0,1 em torno de 2,5.

Passo 8

Interpretação final e incentivo. A linearização em \bar{x}=2,5 fornece uma reta tangente muito boa para variações pequenas ( \pm 0,1): o erro percentual foi de somente \approx 0,16\% em ambos os pontos testados. Então, se na prova aparecer algo do tipo "usar a linearização para estimar 1/x perto de 2,5", você pode aplicar a fórmula da reta tangente rapidamente e terá altíssima precisão para pequenas variações — sem precisar de cálculo pesado.

Resposta

f_{\text{lin}}(x)=0,4-0,16\,(x-2,5)=0,8-0,16\,x
Erro percentual em x=2,6: 0,16\%
Erro percentual em x=2,4: 0,16\%

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