Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
c)
, em torno do ponto
.
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu faça a linearização do modelo dado por
em torno do ponto de operação
. Além disso devo escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo
e
), avaliar a precisão do modelo linear nesses pontos e informar o erro percentual encontrado.
Informações dadas:
Vou usar os pontos (que é
) e
(que é
) para avaliar a precisão.
Informações dadas:
Vou usar os pontos
Passo 2
Conceito e fórmula de linearização (aula rápida e prática). Para uma função
suave perto de
, a linearização (aproximação de primeira ordem, série de Taylor truncada) é:
Aqui
é o valor da função no ponto de operação e
é a derivada primeira no ponto de operação. A variável
é o ponto onde usamos a aproximação e
é a pequena variação em relação ao ponto de operação. Essa fórmula significa: aproximamos a função por uma reta tangente à curva em
.
Passo 3
Calcular
. Como
, temos
Passo 4
Calcular a derivada
e avaliá‑la em
. Derivando,
Avalia em
:
Pequena explicação:
e
, com sinal negativo porque a função
decresce.
Passo 5
Escrever o modelo linearizado. Usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores:
Opcionalmente, expandindo:
As duas formas são equivalentes; a primeira é mais clara para ver a aproximação por variação
.
Passo 6
Escolher pontos próximos e calcular valores reais e aproximados. Vou usar
e
, isto é
e
.
Para
:
- Valor real:
(obs.: notei que
, fração exata)
- Valor linear aproximado:
- Erro absoluto:
- Erro percentual (relativo ao valor verdadeiro), usando a fórmula
Para
:
- Valor real:
- Valor linear aproximado:
- Erro absoluto:
- Erro percentual:
Observação prática: os erros ficam praticamente simétricos para
porque a segunda derivada da função é relativamente pequena no intervalo considerado.
Passo 7
Estimativa do erro pela segunda derivada (explicação para entender por que o erro é desse tamanho). A segunda derivada é
Em
,
O termo de resto de segunda ordem na expansão de Taylor (estimativa) para
é aproximadamente
que é muito próximo aos erros absolutos calculados (0,000615 e 0,000667). Isso confirma que a aproximação linear é muito boa para variações de
em torno de
.
Passo 8
Interpretação final e incentivo. A linearização em
fornece uma reta tangente muito boa para variações pequenas (
): o erro percentual foi de somente
em ambos os pontos testados. Então, se na prova aparecer algo do tipo "usar a linearização para estimar
perto de
", você pode aplicar a fórmula da reta tangente rapidamente e terá altíssima precisão para pequenas variações — sem precisar de cálculo pesado.
Resposta
Erro percentual em
Erro percentual em