Questāo 2. Uma linha de carga, de comprimento infinito, se este ao longo o eíxo z e contém uma densidade linear de cargas
. Uma casca cilíndrica condutora, com eixo z coincidente com a linha de carga, envolve a mesma. O cilindro (de raio b) está em um potencial 0 V . De acordo com essas condiçōes, a funçāo potencial é dada por:
em que
é uma constante a determinar. Demonstre que a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento na direção z , no interior de um volume definido por
, onde
é:
Passo 1
O enunciado dá uma linha de carga infinita ao longo do eixo
com densidade linear de carga
(em
). Há uma casca cilíndrica condutora coaxial de raio
mantida em potencial
. A função potencial é fornecida:
onde
é uma constante a determinar. Pede-se demonstrar que a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento (direção
) no volume entre os cilindros de raios
e
(ou seja, para
) é
Informações relevantes listadas:
- Potencial conhecido:
. - Condição de fronteira: casca condutora em
tem . - Região de interesse:
, ao longo de toda a altura; queremos energia por unidade de comprimento ao longo de . - Fórmula que usaremos para energia do campo: densidade de energia
e .
Passo 2
Determinar a constante
usando a condição de contorno. A casca em
está a
, logo:
Isolando
obtemos
Comentário curto: isso significa que o potencial absoluto foi fixado impondo
; agora podemos usar a expressão completa de
com
conhecido se precisarmos, mas para o campo elétrico a derivada do termo
é suficiente.
Passo 3
Calcular o campo elétrico a partir do potencial. Lembre que em coordenadas cilíndricas, com simetria azimutal e independente de
, o gradiente radial é
. A relação entre campo e potencial é
Calculamos
. Da expressão original,
temos
Portanto o campo elétrico radial é
Interpretação: o campo aponta radialmente para fora e tem módulo
(Isto é o resultado clássico para uma linha de carga infinita.)
Passo 4
Escrever a densidade de energia do campo e montar a integral para a energia por unidade de comprimento. A densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) no vácuo é
Substituindo
obtemos
Para obter a energia por unidade de comprimento ao longo de
, integramos
sobre a área da seção transversal entre
e
e sobre o ângulo
. Ou seja,
Explicação: o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Como queremos energia por unidade de comprimento em
, tomamos
e integramos só sobre a área.
Passo 5
Avaliar explicitamente a integral. Substituindo
na integral:
Simplificando o integrando
, temos
A integral angular dá um fator
:
Passo 6
Calcular a integral logarítmica e escrever o resultado final. Sabemos que
Portanto
Comentário físico final (didático): o parâmetro
aparece porque a energia do campo de uma linha de carga idealizada diverge ao aproximar-se de
; por isso é comum introduzir um raio de corte
(por exemplo o raio efetivo da linha ou do fio) para obter energia finita. A expressão acima dá a energia armazenada por unidade de comprimento entre
e
.