Questāo 2. Uma linha de carga, de comprimento infinito, se este ao longo o eíxo z e contém uma densidade linear de cargas \rho_{l} \mathrm{C} / \mathrm{m}. Uma casca cilíndrica condutora, com eixo z coincidente com a linha de carga, envolve a mesma. O cilindro (de raio b) está em um potencial 0 V . De acordo com essas condiçōes, a funçāo potencial é dada por:
V(\rho)=k-\frac{\rho_{l}}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \rho
em que k é uma constante a determinar. Demonstre que a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento na direção z , no interior de um volume definido por \rho>a, onde \rho<b é:
W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \ln \frac{b}{a}

Passo 1

O enunciado dá uma linha de carga infinita ao longo do eixo z com densidade linear de carga \rho_{l} (em \mathrm{C}/\mathrm{m}). Há uma casca cilíndrica condutora coaxial de raio b mantida em potencial 0\\ \mathrm{V}. A função potencial é fornecida:
V(\rho)=k-\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\rho,
onde k é uma constante a determinar. Pede-se demonstrar que a energia armazenada no campo elétrico por unidade de comprimento (direção z) no volume entre os cilindros de raios a e b (ou seja, para a<\rho<b) é
W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}.
Informações relevantes listadas:
  • Potencial conhecido: V(\rho)=k-\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\rho.
  • Condição de fronteira: casca condutora em \rho=b tem V(b)=0.
  • Região de interesse: a<\rho<b, ao longo de toda a altura; queremos energia por unidade de comprimento ao longo de z.
  • Fórmula que usaremos para energia do campo: densidade de energia u=\tfrac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2} e \mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 2

Determinar a constante k usando a condição de contorno. A casca em \rho=b está a 0\\ \mathrm{V}, logo:
0=V(b)=k-\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln b.
Isolando k obtemos
k=\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln b.
Comentário curto: isso significa que o potencial absoluto foi fixado impondo V(b)=0; agora podemos usar a expressão completa de V(\rho) com k conhecido se precisarmos, mas para o campo elétrico a derivada do termo \ln\rho é suficiente.

Passo 3

Calcular o campo elétrico a partir do potencial. Lembre que em coordenadas cilíndricas, com simetria azimutal e independente de z, o gradiente radial é \nabla V=(dV/d\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. A relação entre campo e potencial é
\mathbf{E}=-\nabla V.
Calculamos dV/d\rho. Da expressão original,
V(\rho)=k-\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\rho,
temos
\frac{dV}{d\rho}=-\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}.
Portanto o campo elétrico radial é
\mathbf{E}=-\frac{dV}{d\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Interpretação: o campo aponta radialmente para fora e tem módulo
E(\rho)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}.
(Isto é o resultado clássico para uma linha de carga infinita.)

Passo 4

Escrever a densidade de energia do campo e montar a integral para a energia por unidade de comprimento. A densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) no vácuo é
u(\rho)=\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}(\rho).
Substituindo E(\rho) obtemos
u(\rho)=\frac{1}{2}\epsilon_{0}\left(\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}\right)^{2} =\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho^{2}}.
Para obter a energia por unidade de comprimento ao longo de z, integramos u sobre a área da seção transversal entre \rho=a e \rho=b e sobre o ângulo \varphi\in[0,2\pi). Ou seja,
W_{e}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=a}^{b} u(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
Explicação: o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Como queremos energia por unidade de comprimento em z, tomamos dz=1 e integramos só sobre a área.

Passo 5

Avaliar explicitamente a integral. Substituindo u(\rho) na integral:
W_{e}=\int_{0}^{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho^{2}}\;\rho\,d\rho\,d\varphi.
Simplificando o integrando \dfrac{1}{\rho^{2}}\cdot\rho=\dfrac{1}{\rho}, temos
W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\epsilon_{0}}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho.
A integral angular dá um fator 2\pi:
W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\epsilon_{0}}\cdot 2\pi\cdot\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho =\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho.

Passo 6

Calcular a integral logarítmica e escrever o resultado final. Sabemos que
\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho=\ln\frac{b}{a}.
Portanto
W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}.
Comentário físico final (didático): o parâmetro a aparece porque a energia do campo de uma linha de carga idealizada diverge ao aproximar-se de \rho=0; por isso é comum introduzir um raio de corte a (por exemplo o raio efetivo da linha ou do fio) para obter energia finita. A expressão acima dá a energia armazenada por unidade de comprimento entre \rho=a e \rho=b.

Resposta

\displaystyle W_{e}=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}

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