Questão 1. Demonstre matematicamente que o tempo de acomodação de cargas elétricas em um meio condutor é inversamente proporcional a sua condutividade elétrica \sigma e diretamente proporcional a permissividade elétrica \epsilon.

Passo 1

O problema pede que eu demonstre matematicamente que o tempo de acomodação (tempo de relaxação) de cargas elétricas em um meio condutor é inversamente proporcional à condutividade elétrica \sigma e diretamente proporcional à permissividade elétrica \epsilon.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • Existe uma densidade de carga elétrica \rho(\mathbf{r},t) no meio que varia no tempo.
  • Há uma densidade de corrente elétrica \mathbf{J}(\mathbf{r},t) associada ao movimento das cargas.
  • O meio é homogêneo (ou tomamos \sigma e \epsilon constantes espacialmente) e isotrópico, de modo que \sigma e \epsilon podem ser tratadas como constantes.
  • Preciso mostrar a dependência temporal (tempo característico \tau) dessa acomodação em função de \sigma e \epsilon.

Passo 2

Conservação de carga: escrevo a equação da continuidade, que é a expressão matemática da conservação de carga. Ela diz que a taxa de variação da densidade de carga em um ponto mais o fluxo de corrente que sai desse volume deve ser zero. Em fórmulas:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{J} = 0.
Explicação didática: aqui \rho(\mathbf{r},t) é a carga por unidade de volume e \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a corrente por unidade de área. A equação só diz que se a carga está diminuindo num ponto ( \partial \rho/\partial t<0) é porque há corrente saindo ( \nabla\cdot\mathbf{J}>0), e vice‑versa.

Passo 3

Lei de Ohm local: em um condutor ôhmico homogêneo, a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico:
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade elétrica (unidade S/m). Explicação didática: essa é a versão local da lei de Ohm — corrente flui na direção do campo elétrico e quanto maior \sigma, mais corrente surge para o mesmo campo.

Passo 4

Lei de Gauss (forma diferencial): o campo elétrico está relacionado à densidade de carga pelo teorema de Gauss:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon},
onde \epsilon é a permissividade elétrica do meio (unidade F/m). Explicação didática: essa equação significa que cargas positivas criam divergência do campo elétrico; \epsilon mede “quão fácil” o campo se estabelece no meio.

Passo 5

Combino as três equações: substituir \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} na equação da continuidade e usar \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon. Primeiro escrevo a continuidade com Ohm:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\sigma\mathbf{E}) = 0.
Como estou assumindo que \sigma é constante espacialmente (meio homogêneo), posso tirar \sigma para fora da divergência:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sigma\,\nabla\cdot\mathbf{E} = 0.
Agora uso Gauss para substituir \nabla\cdot\mathbf{E}:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sigma\,\frac{\rho}{\epsilon} = 0.

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial temporal: a equação obtida é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem para \rho(t) (em cada ponto espacial, pois as dependências espaciais estão tratadas via hipótese de homogeneidade):
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{\sigma}{\epsilon}\,\rho.
Essa equação tem solução exponencial (aprenda esta forma — é a típica equação de decaimento exponencial). Integrando, obtenho
\rho(t)=\rho(0)\,\exp\!\left(-\frac{\sigma}{\epsilon}\,t\right),
onde \rho(0) é a densidade de carga inicial naquele ponto.
Explicação didática: a solução diz que a carga decai exponencialmente com o tempo, e o argumento do exponencial \sigma t/\epsilon define qual é o tempo característico de decaimento.

Passo 7

Definição do tempo de acomodação (tempo de relaxação): o tempo característico \tau é o tempo para o qual o expoente atinge 1, ou seja, o tempo para o qual a carga decai por um fator e. Da forma obtida, tem-se
\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}.
Interpretação e conclusão: dessa expressão vemos claramente que \tau é diretamente proporcional a \epsilon (maior permissividade → maior \tau) e inversamente proporcional a \sigma (maior condutividade → menor \tau). Ou seja, condutores muito bons (grande \sigma) relaxam cargas muito rapidamente; meios com grande permissividade levam mais tempo para neutralizar cargas.
Observação sobre hipóteses: usei \sigma e \epsilon constantes e desprezei efeitos que tornariam a relação espacialmente complexa (por exemplo, meios não homogêneos ou dependência de frequência). Para muitos problemas práticos em regimes de baixa frequência e meios homogêneos, essa expressão é a que aparece na literatura como tempo de relaxação.

Resposta

\tau=\dfrac{\epsilon}{\sigma}

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