Questão 1. Demonstre matematicamente que o tempo de acomodação de cargas elétricas em um meio condutor é inversamente proporcional a sua condutividade elétrica
e diretamente proporcional a permissividade elétrica
.
Passo 1
O problema pede que eu demonstre matematicamente que o tempo de acomodação (tempo de relaxação) de cargas elétricas em um meio condutor é inversamente proporcional à condutividade elétrica
e diretamente proporcional à permissividade elétrica
.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- Existe uma densidade de carga elétrica
no meio que varia no tempo. - Há uma densidade de corrente elétrica
associada ao movimento das cargas. - O meio é homogêneo (ou tomamos
e constantes espacialmente) e isotrópico, de modo que e podem ser tratadas como constantes. - Preciso mostrar a dependência temporal (tempo característico
) dessa acomodação em função de e .
Passo 2
Conservação de carga: escrevo a equação da continuidade, que é a expressão matemática da conservação de carga. Ela diz que a taxa de variação da densidade de carga em um ponto mais o fluxo de corrente que sai desse volume deve ser zero. Em fórmulas:
Explicação didática: aqui
é a carga por unidade de volume e
é a corrente por unidade de área. A equação só diz que se a carga está diminuindo num ponto (
) é porque há corrente saindo (
), e vice‑versa.
Passo 3
Lei de Ohm local: em um condutor ôhmico homogêneo, a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico:
onde
é a condutividade elétrica (unidade S/m). Explicação didática: essa é a versão local da lei de Ohm — corrente flui na direção do campo elétrico e quanto maior
, mais corrente surge para o mesmo campo.
Passo 4
Lei de Gauss (forma diferencial): o campo elétrico está relacionado à densidade de carga pelo teorema de Gauss:
onde
é a permissividade elétrica do meio (unidade F/m). Explicação didática: essa equação significa que cargas positivas criam divergência do campo elétrico;
mede “quão fácil” o campo se estabelece no meio.
Passo 5
Combino as três equações: substituir
na equação da continuidade e usar
. Primeiro escrevo a continuidade com Ohm:
Como estou assumindo que
é constante espacialmente (meio homogêneo), posso tirar
para fora da divergência:
Agora uso Gauss para substituir
:
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial temporal: a equação obtida é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem para
(em cada ponto espacial, pois as dependências espaciais estão tratadas via hipótese de homogeneidade):
Essa equação tem solução exponencial (aprenda esta forma — é a típica equação de decaimento exponencial). Integrando, obtenho
onde
é a densidade de carga inicial naquele ponto.
Explicação didática: a solução diz que a carga decai exponencialmente com o tempo, e o argumento do exponencial
define qual é o tempo característico de decaimento.
Passo 7
Definição do tempo de acomodação (tempo de relaxação): o tempo característico
é o tempo para o qual o expoente atinge
, ou seja, o tempo para o qual a carga decai por um fator
. Da forma obtida, tem-se
Interpretação e conclusão: dessa expressão vemos claramente que
é diretamente proporcional a
(maior permissividade → maior
) e inversamente proporcional a
(maior condutividade → menor
). Ou seja, condutores muito bons (grande
) relaxam cargas muito rapidamente; meios com grande permissividade levam mais tempo para neutralizar cargas.
Observação sobre hipóteses: usei
e
constantes e desprezei efeitos que tornariam a relação espacialmente complexa (por exemplo, meios não homogêneos ou dependência de frequência). Para muitos problemas práticos em regimes de baixa frequência e meios homogêneos, essa expressão é a que aparece na literatura como tempo de relaxação.