Cada placa de um capacitor com placas paralelas possuí área igual a 8,56 \mathrm{~cm}^{2} e a distância entre as placas é de 2,94 \mathrm{~mm}. A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a 3,82 \times 10^{-8} \mathrm{C}. As placas estão no vácuo. (a) Qual é o valor da capacitância? (b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? (c) Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas?

Passo 1

O enunciado pede as três quantidades abaixo para um capacitor de placas paralelas que está no vácuo:
(a) o valor da capacitância;
(b) a diferença de potencial entre as placas;
(c) o módulo do campo elétrico entre as placas.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
\text{Área da placa: }A=8,56\\ \mathrm{cm^{2}}Á
\text{Distância entre placas: }d=2,94\\ \mathrm{mm}â
\text{Carga acumulada em cada placa (módulo): }Q=3,82\times10^{-8}\\ \mathrm{C}ó
\text{As placas estão no vácuo.}ãá

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as grandezas para o Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas físicas usam unidades SI.
Converter área:
1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},\quad\text{logo}
A=8,56\\ \mathrm{cm^{2}}=8,56\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Converter distância:
1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad\text{logo}
d=2,94\\ \mathrm{mm}=2,94\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A carga já está em coulombs ( \mathrm{C}), que é SI:
Q=3,82\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Também precisamos da permissividade do vácuo (constante física):
\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Explicação curta: \varepsilon_{0} mede a “capacidade do vácuo de permitir campo elétrico”; aparece em fórmulas de capacitância e de campo elétrico.

Passo 3

Agora vamos calcular a capacitância do capacitor de placas paralelas. A fórmula conhecida (que você deve decorar) é:
C=\varepsilon_{0}\,\frac{A}{d}.
Explicando a fórmula: C é a capacitância (medida em farads, \mathrm{F}), A é a área de uma placa (em \mathrm{m^{2}}), d é a separação entre placas (em \mathrm{m}), e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Essa fórmula vem da relação entre carga, campo e diferença de potencial para placas grandes e próximas (campo praticamente uniforme).
Substituindo os valores (vou mostrar passo a passo as potências de dez):
C = (8,85\times10^{-12})\cdot\frac{8,56\times10^{-4}}{2,94\times10^{-3}}.
Calcule o numerador:
8,85\times10^{-12}\times8,56\times10^{-4}=75,756\times10^{-16}=7,5756\times10^{-15}.
Agora divida pelo denominador 2,94\times10^{-3}:
C=\frac{7,5756\times10^{-15}}{2,94\times10^{-3}}=(7,5756/2,94)\times10^{-12}.
7,5756/2,94\approx2,57714\quad\Rightarrow\quad C\approx2,57714\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
C\approx2,58\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
(Observação: 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}, então C\approx2,58\\ \mathrm{pF}.)

Passo 4

Agora vamos achar a diferença de potencial entre as placas. A relação básica entre carga, capacitância e diferença de potencial é:
Q=C\,V,
onde V é a diferença de potencial entre as placas (em volts). Esta fórmula vem da definição de capacitância: C é a razão entre a carga armazenada e a tensão aplicada.
Isolando V:
V=\frac{Q}{C}.
Substituindo os valores (use o C calculado no passo anterior):
V=\frac{3,82\times10^{-8}}{2,57714\times10^{-12}}.
Calcule a razão:
\frac{3,82\times10^{-8}}{2,57714\times10^{-12}}=\left(\frac{3,82}{2,57714}\right)\times10^{4}.
\frac{3,82}{2,57714}\approx1,4828\quad\Rightarrow\quad V\approx1,4828\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
V\approx1,48\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Um comentário prático: é um valor alto de tensão (~14,8 kV) porque a capacitância é muito pequena (placas pequenas e separação relativamente grande).

Passo 5

Por fim, vamos calcular o módulo do campo elétrico entre as placas. Para placas paralelas com campo praticamente uniforme, a relação entre diferença de potencial e campo é simples:
E=\frac{V}{d},
onde E é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{V/m}), V é a diferença de potencial e d é a distância entre as placas.
Usando V do passo anterior e d em metros:
E=\frac{1,4828\times10^{4}}{2,94\times10^{-3}}.
Calcule:
E\approx(1,4828\times10^{4})/(2,94\times10^{-3})\approx1,4828\times10^{4}\times340,136\approx5,045\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
E\approx5,04\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Verificação alternativa (útil para a prova): o campo também pode ser obtido por
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}},\quad\text{com}\quad\sigma=\frac{Q}{A}
onde \sigma é a densidade superficial de carga. Se calcularmos \sigma e dividirmos por \varepsilon_{0}, obtemos o mesmo valor dentro de pequenas diferenças de arredondamento — isso confirma o resultado.

Resposta

(a) 2,58\times10^{-12}\\ \mathrm{F}
(b) 1,48\times10^{4}\\ \mathrm{V}
(c) 5,04\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}

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