Questão 9 [Mais conceitual, uma generalização do exercício anterior e da forma de ângulo] Sejam A, B, C \in R com A>0, considere o campo vetorial
F(x, y)=\left(\frac{-y}{A x^{2}+B x y+C y^{2}}, \frac{x}{A x^{2}+B x y+C y^{2}}\right) .
Observe que a forma de ângulo feita em sala era o caso A=C=1 e B=0.
a) Mostre que \partial_{x} F_{2}-\partial_{y} F_{1}=0.
OBS: Mais geralmente, é fácil mostrar que se F(x, y)=\left(\frac{-y}{p(x, y)}, \frac{x}{p(x, y)}\right) com p(x, y) um polinômio em x e y, F atende a propriedade acima apenas se p(x, y)=A x^{2}+B x y+C y^{2}.
b) Supondo \Delta=4 A C-B^{2}>0, mostre que F tem apenas uma singularidade na origem.
OBS: No caso \Delta \leq 0, F tem mais singularidades (as singularidades definem uma curva contendo a origem).
c) Ainda supondo \Delta>0 e dado \epsilon>0, a equação A x^{2}+B x y+C y^{2}=\epsilon^{2} determina uma elipse contendo a origem em seu interior. Seja \Gamma_{\epsilon} essa elipse orientada no sentido anti-horário. Construa uma parametrização para \Gamma_{\epsilon}. Dica: complete quadrados na expressão.
d) Calcule \int_{\Gamma_{\epsilon}} F \cdot d s usando a definição e mostre que não depende de \epsilon. Mais geralmente, o que ocorre se tomamos apenas um trecho dessa elipse percorrida no sentido anti-horário?
e) Dada uma curva fechada C em R^{2} \backslash\{(0,0)\}. Suponha que C dá n voltas ao redor da origem no sentido anti-horário. Use o Teorema de Green para calcular \int_{C} F \cdot d s.
Resposta:c) Uma parametrização possível é \gamma_{\epsilon}(t)=\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{A}} \cos t-\frac{\epsilon B}{A \sqrt{\Delta}} \sin t, 2 \epsilon \sqrt{\frac{A}{\Delta}} \sin t\right); d) \frac{4 \pi}{\sqrt{\Delta}} e \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \delta \theta; e) \frac{4 \pi}{\sqrt{\Delta}} n
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
Dados: A,B,C\in\mathbb{R} com A>0. Definido o polinômio quadrático
O enunciado pede:
(a) Mostrar que \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}=0.
(b) Supondo \Delta=4AC-B^{2}>0, mostrar que F tem apenas uma singularidade na origem (ou seja, o denominador só zera em (0,0)).
(c) Para \Delta>0 e dado \epsilon>0, a curva p(x,y)=\epsilon^{2} é uma elipse; construir uma parametrização \gamma_{\epsilon}(t) orientada anti-horário.
(d) Calcular \displaystyle\int_{\Gamma_{\epsilon}} F\cdot d s usando a definição (ou seja, via parametrização) e mostrar que não depende de \epsilon. Além disso, dizer o que acontece se tomarmos apenas um trecho da elipse percorrido anti-horário.
(e) Para uma curva fechada C\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} que dá n voltas ao redor da origem no sentido anti-horário, usar o Teorema de Green para calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot d s.
Não começo a resolver aqui — apenas listei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
(a) Cálculo explícito de \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}. Primeiro escrevo F com notação curta:
Vou calcular \partial_{x}F_{2} e \partial_{y}F_{1} usando a regra do quociente (derivada de x/p e de -y/p).
Calcule p_x e p_y (derivadas parciais de p):
p_x=\frac{\partial}{\partial x}(A x^{2}+B x y+C y^{2})=2A x + B y,
p_y=\frac{\partial}{\partial y}(A x^{2}+B x y+C y^{2})=B x + 2C y.
Agora aplico a regra do quociente:
\partial_{x}F_{2}=\partial_{x}\!\left(\frac{x}{p}\right) =\frac{1\cdot p - x\cdot p_x}{p^{2}}=\frac{p - x p_x}{p^{2}}.
\partial_{y}F_{1}=\partial_{y}\!\left(\frac{-y}{p}\right) =\frac{(-1)\cdot p - (-y)\cdot p_y}{p^{2}}=\frac{-p + y p_y}{p^{2}}.
Subtraindo:
\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1} =\frac{p - x p_x}{p^{2}}-\frac{-p + y p_y}{p^{2}} =\frac{2p - x p_x - y p_y}{p^{2}}.
Agora note o seguinte fato muito simples e útil (teorema de Euler para funções homogêneas): p(x,y) é um polinômio homogêneo de grau 2, isto é, todo termo é de grau 2. Para uma função homogênea de grau k vale x f_x + y f_y = k f. Aplicando para p (com k=2) obtemos
x p_x + y p_y = 2 p.
Logo o numerador acima é zero:
2p - x p_x - y p_y = 0.
Portanto
\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}=0.
Breve comentário didático: a razão disso é que F tem a mesma estrutura da “forma de ângulo” clássica \bigl(-y/(x^{2}+y^{2}),\,x/(x^{2}+y^{2})\bigr). A propriedade \partial_x F_2 - \partial_y F_1 =0 equivale a dizer que o rotacional (curl) do campo é zero fora das singularidades; aqui a identidade de Euler para funções homogêneas de grau 2 garante isso para o denominador quadrático.
Passo 3
(b) Localizar singularidades: o campo F é indefinido onde p(x,y)=0, pois o denominador some. Então as singularidades são exatamente o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid p(x,y)=0\}.
Queremos mostrar que, quando \Delta=4AC-B^{2}>0 e A>0, a única solução é (0,0).
Interpretação quadrática: escrevemos p(x,y) em forma matricial
A matriz simétrica Q=\begin{pmatrix}A & B/2 \\\ B/2 & C\end{pmatrix} tem determinante
\det Q = A C - \frac{B^{2}}{4} = \frac{4AC-B^{2}}{4}=\frac{\Delta}{4}.
Se A>0 e \det Q>0 então Q é definida positiva (condição dos menores principais: A>0 e \det Q>0). Para uma matriz definida positiva vale x^{T} Q x>0 para todo x\neq 0. Portanto, sob \Delta>0 e A>0,
p(x,y)>0\quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0),
e p(0,0)=0. Conclusão: o conjunto \{p=0\} é apenas o ponto (0,0). Assim F tem apenas uma singularidade, na origem.
Observação: quando \Delta\le 0 a forma quadrática não é definida positiva e a equação p=0 pode ter outras soluções (por exemplo duas retas passando pela origem ou uma única reta dupla), formando uma curva de zeros que contém a origem.
Passo 4
(c) Construção de uma parametrização \gamma_{\epsilon} da elipse p(x,y)=\epsilon^{2} orientada anti-horário. Vou usar a técnica de completar quadrados.
Calculei isso expandindo: A(x+\tfrac{B}{2A}y)^{2}=Ax^{2}+Bxy+\tfrac{B^{2}}{4A}y^{2}; somando o restante obtém C y^{2}. Agora simplifico o segundo coeficiente usando \Delta:
(Isto é consistente pois substituindo dá A u^{2} + \frac{\Delta}{4A}y^{2} = A\frac{\epsilon^{2}}{A}\cos^{2}t + \frac{\Delta}{4A}\cdot 4\epsilon^{2}\frac{A}{\Delta}\sin^{2}t=\epsilon^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=\epsilon^{2}.)
Volto às coordenadas originais calculando x=u-\tfrac{B}{2A}y:
x=\frac{\epsilon}{\sqrt{A}}\cos t - \frac{B}{2A}\cdot 2\epsilon\sqrt{\frac{A}{\Delta}}\sin t =\frac{\epsilon}{\sqrt{A}}\cos t - \frac{\epsilon B}{A\sqrt{\Delta}}\sin t.
Portanto uma parametrização é
\gamma_{\epsilon}(t)=\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{A}}\cos t - \frac{\epsilon B}{A\sqrt{\Delta}}\sin t,\;2\epsilon\sqrt{\frac{A}{\Delta}}\sin t\right),\qquad t\in[0,2\pi].
Este \gamma_{\epsilon} descreve a elipse uma vez quando t percorre [0,2\pi]. Escolhendo t crescente de 0 a 2\pi a orientação é anti-horário (pode-se verificar pelo sinal do Jacobiano do mapeamento do círculo para a elipse, que é positivo para os sinais escolhidos).
Passo 5
(d) Calculo da integral \displaystyle\int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s usando a parametrização. Como \gamma_{\epsilon}(t) satisfaz p\bigl(\gamma_{\epsilon}(t)\bigr)=\epsilon^{2} para todo t, no caminho vale
\int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s =\frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{0}^{2\pi}\bigl(x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\bigr)\,dt =\frac{1}{\epsilon^{2}}\oint_{\Gamma_{\epsilon}}(x\,dy - y\,dx).
Agora uso uma identidade geométrica clássica: para qualquer curva fechada simples que encerra uma região D,
No nosso caso D é a elipse interior \{(x,y):p(x,y)\le\epsilon^{2}\}. Então precisamos da área dessa elipse.
Cálculo da área: para uma forma quadrática p(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} com Q positiva definida, a região \{p\le\epsilon^{2}\} é uma imagem linear do disco de raio \epsilon. Mais precisamente, existe uma transformação linear que leva o disco de raio \epsilon para a elipse; o fator de escala da área é \det(Q)^{-1/2}. Assim
\int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s =\frac{1}{\epsilon^{2}}\cdot\frac{4\pi\epsilon^{2}}{\sqrt{\Delta}} =\frac{4\pi}{\sqrt{\Delta}}.
Observações:
O resultado não depende de \epsilon (o \epsilon^{2} cancelou), portanto todos os círculos elípticos p=\epsilon^{2} dão a mesma integral.
Se tomarmos apenas um trecho da elipse parametrizado por t\in[t_{1},t_{2}] (com a parametrização do Passo 4), então a integral restringida é proporcional ao comprimento do intervalo em t. Como a integral completa corresponde a t variando 2\pi, a integral no trecho vale
Ou seja, para um pequeno arco correspondente a uma variação angular \delta t a integral é \dfrac{2}{\sqrt{\Delta}}\delta t. (Na resposta do enunciado \delta\theta corresponde a esse \delta t.)
Passo 6
(e) Cálculo para uma curva fechada C\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} que dá n voltas ao redor da origem no sentido anti-horário.
Ideia: como mostramos no Passo 2, em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} o rotacional de F é zero: \partial_x F_2 - \partial_y F_1 =0. Assim, para qualquer região que não contenha a origem, a integral de linha sobre contornos homologamente equivalentes é a mesma. Agora, podemos deformar continuamente C (sem atravessar a origem) até transformá-la numa combinação de n voltas da elipse \Gamma_{\epsilon} (para algum \epsilon>0 fixo). Formalmente, o valor da integral só depende do índice (número de revoluções, ou winding number) de C em relação à origem.
Portanto
\int_{C}F\cdot d s = n\int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s.
Pelo Passo 5 temos \int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s=\dfrac{4\pi}{\sqrt{\Delta}}. Logo
\int_{C}F\cdot d s = n\cdot\frac{4\pi}{\sqrt{\Delta}}.
Comentário intuitivo: cada volta em torno da origem adiciona exatamente \dfrac{4\pi}{\sqrt{\Delta}} ao valor da integral; voltas no sentido horário dariam o sinal oposto (índice n negativo).
Resposta
(a) \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}=0.\n
(b) Se \Delta=4AC-B^{2}>0 então F tem singularidade apenas em (0,0).\n
(c) \displaystyle \gamma_{\epsilon}(t)=\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{A}}\cos t-\frac{\epsilon B}{A\sqrt{\Delta}}\sin t,\;2\epsilon\sqrt{\frac{A}{\Delta}}\sin t\right),\\ t\in[0,2\pi].\n
(d) \displaystyle \int_{\Gamma_{\epsilon}}F\cdot d s=\frac{4\pi}{\sqrt{\Delta}}. Para um trecho da elipse correspondente a variação angular \delta t na parametrização acima, a integral vale \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\Delta}}\,\delta t.\n
(e) \displaystyle \int_{C}F\cdot d s=\frac{4\pi}{\sqrt{\Delta}}\,n.