Questão 8:
Sejam
a curva parametrizada por
e
Calcule a integral de linha
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde:
- A curva
é dada pela parametrização , com . - O campo vetorial é
.
As perguntas que precisamos responder são: calcular explicitamente a integral de linha fechada de
ao longo de
, usando os dados acima, e obter o valor numérico final.
Passo 2
Interpretação e fórmulas básicas: para um campo vetorial
e uma parametrização
de uma curva, a integral de linha do tipo
(aqui escrita como
no enunciado) é dada por
onde
é a derivada componente a componente da parametrização e o produto
é o produto escalar usual em
. Aplicaremos essa fórmula com
e
fornecidos.
Passo 3
Calcular
e substituir
:
- As componentes da parametrização são
e . - Derivando, obtemos
Agora avaliamos o denominador do campo em pontos da curva:
Passo 4
Avaliar o campo sobre a curva e calcular o produto escalar:
- As componentes de
ao longo da curva são
- O produto escalar
é
Portanto a integral desejada fica
Passo 5
Simplificar a função a integrar usando identidades trigonométricas:
- Escrever
em termos de . Usando e ,
- Assim o integrando fica
Logo
Passo 6
Avaliar a integral usando uma fórmula padrão (e justificá-la): transformação para integral do tipo
.
Observação técnica: definindo
, quando
percorre
o ângulo
percorre
. Mas a função
tem período
, então
Portanto
Fórmula conhecida (que se obtém com a substituição
— método clássico de meia-ângulo) é
Aqui
e
, e de fato
. Calculando
Portanto
Voltando ao nosso integrando com o fator
,
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: o cálculo direto do produto escalar e a integral trigonométrica levam ao resultado
. O sinal negativo vem da orientação padrão da parametrização (no sentido anti-horário) combinada com a forma do campo
.