Questão 8:

Sejam C a curva parametrizada por \sigma(t)=(\sqrt{2} \cos t, \sqrt{2} \sin t), t \in[0,2 \pi] e
F=\left(\frac{y}{4 x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{4 x^{2}+y^{2}}\right) .
Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d s.
Resposta: -\pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d s onde:
  • A curva C é dada pela parametrização \displaystyle \sigma(t)=(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\sin t), com t\in[0,2\pi].
  • O campo vetorial é \displaystyle F(x,y)=\left(\dfrac{y}{4x^{2}+y^{2}},\; \dfrac{-x}{4x^{2}+y^{2}}\right).
As perguntas que precisamos responder são: calcular explicitamente a integral de linha fechada de F ao longo de C, usando os dados acima, e obter o valor numérico final.

Passo 2

Interpretação e fórmulas básicas: para um campo vetorial F e uma parametrização \sigma(t) de uma curva, a integral de linha do tipo \displaystyle \int_C F\cdot d\mathbf{r} (aqui escrita como \int_C F\cdot d s no enunciado) é dada por
\displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} F\big(\sigma(t)\big)\cdot \sigma'(t)\,dt,
onde \sigma'(t) é a derivada componente a componente da parametrização e o produto \cdot é o produto escalar usual em \mathbb{R}^2. Aplicaremos essa fórmula com \sigma(t) e F fornecidos.

Passo 3

Calcular \sigma'(t) e substituir x(t),y(t):
  • As componentes da parametrização são \displaystyle x(t)=\sqrt{2}\cos t e \displaystyle y(t)=\sqrt{2}\sin t.
  • Derivando, obtemos
\displaystyle \sigma'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=\big(-\sqrt{2}\sin t,\;\sqrt{2}\cos t\big).
Agora avaliamos o denominador do campo em pontos da curva:
\begin{aligned} 4x(t)^2+y(t)^2 &=4\big(\sqrt{2}\cos t\big)^2+\big(\sqrt{2}\sin t\big)^2\\[4pt] &=4\cdot 2\cos^2 t + 2\sin^2 t\\[4pt] &=8\cos^2 t + 2\sin^2 t\\[4pt] &=2\big(4\cos^2 t+\sin^2 t\big). \end{aligned}]

Passo 4

Avaliar o campo sobre a curva e calcular o produto escalar:
  • As componentes de F ao longo da curva são
\begin{aligned} F_1\big(\sigma(t)\big)&=\dfrac{y(t)}{4x(t)^2+y(t)^2}=\dfrac{\sqrt{2}\sin t}{2\big(4\cos^2 t+\sin^2 t\big)},\\[6pt] F_2\big(\sigma(t)\big)&=\dfrac{-x(t)}{4x(t)^2+y(t)^2}=\dfrac{-\sqrt{2}\cos t}{2\big(4\cos^2 t+\sin^2 t\big)}. \end{aligned}
  • O produto escalar F(\sigma(t))\cdot\sigma'(t) é
\begin{aligned} F(\sigma(t))\cdot\sigma'(t) &=F_1(\sigma(t))\,x'(t)+F_2(\sigma(t))\,y'(t)\\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{2}\sin t}{2(4\cos^2 t+\sin^2 t)}\cdot\big(-\sqrt{2}\sin t\big) +\dfrac{-\sqrt{2}\cos t}{2(4\cos^2 t+\sin^2 t)}\cdot\big(\sqrt{2}\cos t\big)\\[6pt] &=\dfrac{-2\sin^2 t -2\cos^2 t}{2(4\cos^2 t+\sin^2 t)}\\[6pt] &=\dfrac{-2(\sin^2 t+\cos^2 t)}{2(4\cos^2 t+\sin^2 t)}\\[6pt] &=\dfrac{-1}{4\cos^2 t+\sin^2 t}. \end{aligned}
Portanto a integral desejada fica
\displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\dfrac{-1}{4\cos^2 t+\sin^2 t}\,dt.]

Passo 5

Simplificar a função a integrar usando identidades trigonométricas:
  • Escrever 4\cos^2 t+\sin^2 t em termos de \cos 2t. Usando \cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2} e \sin^2 t=\dfrac{1-\cos 2t}{2},
\begin{aligned} 4\cos^2 t+\sin^2 t &=4\cdot\dfrac{1+\cos 2t}{2}+\dfrac{1-\cos 2t}{2}\\[4pt] &=\dfrac{4(1+\cos 2t)+1-\cos 2t}{2}\\[4pt] &=\dfrac{5+3\cos 2t}{2}. \end{aligned}
  • Assim o integrando fica
\dfrac{-1}{4\cos^2 t+\sin^2 t}=\dfrac{-1}{\tfrac{5+3\cos 2t}{2}}=\dfrac{-2}{5+3\cos 2t}.
Logo
\displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\dfrac{-2}{5+3\cos 2t}\,dt.]

Passo 6

Avaliar a integral usando uma fórmula padrão (e justificá-la): transformação para integral do tipo \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{a+b\cos\theta}.
Observação técnica: definindo \theta=2t, quando t percorre [0,2\pi] o ângulo \theta percorre [0,4\pi]. Mas a função \dfrac{1}{5+3\cos\theta} tem período 2\pi, então
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dt}{5+3\cos 2t} =\int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{5+3\cos\theta}.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{-2}{5+3\cos 2t}\,dt =-2\int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{5+3\cos\theta}.
Fórmula conhecida (que se obtém com a substituição u=\tan(\theta/2) — método clássico de meia-ângulo) é
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}},\qquad\text{para }a>|b|.
Aqui a=5 e b=3, e de fato 5>|3|. Calculando
\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{5+3\cos\theta}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}.
Voltando ao nosso integrando com o fator -2,
\int_{0}^{2\pi}\dfrac{-2}{5+3\cos 2t}\,dt=-2\cdot \dfrac{\pi}{2}=-\pi.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: o cálculo direto do produto escalar e a integral trigonométrica levam ao resultado -\pi. O sinal negativo vem da orientação padrão da parametrização (no sentido anti-horário) combinada com a forma do campo F.

Resposta

-\pi

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