Questão 11:
Considere o campo vetorial
e
o arco de círculo
com
e orientado no sentido de crescimento de
. Calcule
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
- A curva
é o arco do círculo com , orientado no sentido de crescimento de .
O que o exercício pede:
- Calcular a integral de linha
, isto é, o trabalho de ao longo do arco indicado.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- O arco é a semicircunferência direita (metade do círculo com
). - A orientação "sentido de crescimento de
" corresponde a percorrer o arco do ponto para . - O denominador presente no campo é
, que não é zero no arco, salvo , caso trivial.
Passo 2
Escolher uma parametrização compatível com a curva e a orientação. Para a semicircunferência direita usamos a parametrização padrão:
Justificativa: para
crescente de
a
tem-se
e
aumenta (orientação pedida). Calculamos as derivadas:
Passo 3
Escrever a integral de linha usando a parametrização:
onde
e
.
Para organizar as contas, somamos as duas parcelas como
Explicação desta separação: agrupar os termos
de
e
e isolar a parcela com o fator racional facilita o cálculo porque a combinação
simplifica bem na parametrização circular.
Passo 4
Calcular
na parametrização:
Muito conveniente: essa combinação deu exatamente
.
Calcular também
:
Passo 5
Calcular o denominador
na parametrização:
Assim a segunda parcela fica
Portanto o integrando total é
Passo 6
Separar a integral em duas partes:
Calcular a primeira integral
:
Encontrar antiderivadas passo a passo:
Somando:
Avaliar entre
e
. Notando
e
, temos que a expressão avaliada dá
. Portanto
Passo 7
Calcular a segunda integral
:
Simplificar o denominador:
Logo o integrando fica
Observação: a função é par (depende de
), então
Fazer a substituição
para a integral de
a
:
Então
Os limites vão de
até
. Assim
Calcular a integral conhecida:
Portanto
Passo 8
Somar as duas parcelas: