Questão 11:

Considere o campo vetorial
F=\left(x-\frac{2 y}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}, x+\frac{2 x}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}\right)
e C o arco de círculo x^{2}+y^{2}=r^{2} com x \geq 0 e orientado no sentido de crescimento de y. Calcule \int_{C} F \cdot d s.
Resposta: \left(12+r^{2}\right) \pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial F=\left(x-\frac{2 y}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}},\; x+\frac{2 x}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}\right).
  • A curva C é o arco do círculo \;x^{2}+y^{2}=r^{2}\; com x\ge 0, orientado no sentido de crescimento de y.
O que o exercício pede:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d s, isto é, o trabalho de F ao longo do arco indicado.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • O arco é a semicircunferência direita (metade do círculo com x\ge0).
  • A orientação "sentido de crescimento de y" corresponde a percorrer o arco do ponto (0,-r) para (0,r).
  • O denominador presente no campo é \;x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}\;, que não é zero no arco, salvo r=0, caso trivial.

Passo 2

Escolher uma parametrização compatível com a curva e a orientação. Para a semicircunferência direita usamos a parametrização padrão:
\begin{cases} x(t)=r\cos t,\\[4pt] y(t)=r\sin t, \end{cases}\qquad t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Justificativa: para t crescente de -\dfrac{\pi}{2} a \dfrac{\pi}{2} tem-se x=r\cos t\ge0 e y aumenta (orientação pedida). Calculamos as derivadas:
dx = x'(t)\,dt = -r\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = r\cos t\,dt.]

Passo 3

Escrever a integral de linha usando a parametrização:
\int_C F\cdot d s = \int_{t=-\pi/2}^{\pi/2} \Bigl[ P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\Bigr]\,dt,
onde \;P(x,y)=x-\dfrac{2y}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}\; e \;Q(x,y)=x+\dfrac{2x}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}.
Para organizar as contas, somamos as duas parcelas como
P\,dx + Q\,dy = x\,(dx+dy) + \frac{2}{x^{2}+\frac{y^{2}}{9}}\;(-y\,dx + x\,dy).
Explicação desta separação: agrupar os termos x de P e Q e isolar a parcela com o fator racional facilita o cálculo porque a combinação -y\,dx + x\,dy simplifica bem na parametrização circular.

Passo 4

Calcular -y\,dx + x\,dy na parametrização:
\begin{aligned} -y\,dx + x\,dy &= -\bigl(r\sin t\bigr)\bigl(-r\sin t\,dt\bigr) + \bigl(r\cos t\bigr)\bigl(r\cos t\,dt\bigr)\\[4pt] &= r^{2}\bigl(\sin^{2}t + \cos^{2}t\bigr)\,dt = r^{2}\,dt. \end{aligned}
Muito conveniente: essa combinação deu exatamente r^{2}\,dt.
Calcular também x(dx+dy):
x(dx+dy) = r\cos t\bigl(-r\sin t\,dt + r\cos t\,dt\bigr) = r^{2}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{2}t\bigr)\,dt.]

Passo 5

Calcular o denominador \;D:=x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}\; na parametrização:
D = r^{2}\!\left(\cos^{2}t + \frac{\sin^{2}t}{9}\right).
Assim a segunda parcela fica
\frac{2}{D}\;(-y\,dx + x\,dy) = \frac{2}{r^{2}\left(\cos^{2}t+\frac{\sin^{2}t}{9}\right)}\cdot r^{2}\,dt = \frac{2}{\cos^{2}t+\dfrac{\sin^{2}t}{9}}\,dt.
Portanto o integrando total é
F\cdot r'(t)\,dt = r^{2}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{2}t\bigr)\,dt + \frac{2}{\cos^{2}t+\dfrac{\sin^{2}t}{9}}\,dt.

Passo 6

Separar a integral em duas partes:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^{2}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{2}t\bigr)\,dt \;+\; \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2}{\cos^{2}t+\dfrac{\sin^{2}t}{9}}\,dt.
Calcular a primeira integral I_{1}:
I_{1}=r^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{2}t\bigr)\,dt.
Encontrar antiderivadas passo a passo:
\int -\cos t\sin t\,dt = -\tfrac{1}{2}\sin^{2}t, \qquad \int \cos^{2}t\,dt = \tfrac{t}{2} + \tfrac{1}{4}\sin 2t.
Somando:
\int\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{2}t\bigr)\,dt = -\tfrac{1}{2}\sin^{2}t + \tfrac{t}{2} + \tfrac{1}{4}\sin 2t.
Avaliar entre t=-\dfrac{\pi}{2} e t=\dfrac{\pi}{2}. Notando \sin(\pm \tfrac{\pi}{2})=\pm1 e \cos(\pm \tfrac{\pi}{2})=0, temos que a expressão avaliada dá \dfrac{\pi}{2}. Portanto
I_{1} = r^{2}\cdot \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Calcular a segunda integral I_{2}:
I_{2}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{2}{\cos^{2}t+\dfrac{\sin^{2}t}{9}}\,dt.
Simplificar o denominador:
\cos^{2}t+\frac{\sin^{2}t}{9}=\frac{9\cos^{2}t+\sin^{2}t}{9}=\frac{8\cos^{2}t+1}{9}.
Logo o integrando fica
\frac{2}{\cos^{2}t+\dfrac{\sin^{2}t}{9}}=\frac{18}{8\cos^{2}t+1}.
Observação: a função é par (depende de \cos^{2}t), então
I_{2}=18\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dt}{8\cos^{2}t+1} =36\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt}{8\cos^{2}t+1}.
Fazer a substituição \;u=\tan t\; para a integral de 0 a \pi/2:
u=\tan t,\qquad du=(1+\tan^{2}t)\,dt=(1+u^{2})\,dt, \qquad \cos^{2}t=\frac{1}{1+u^{2}}.
Então
\frac{dt}{8\cos^{2}t+1} = \frac{du/(1+u^{2})}{8/(1+u^{2})+1} = \frac{du}{9+u^{2}}.
Os limites vão de u(0)=0 até u(\pi/2)=+\infty. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt}{8\cos^{2}t+1} = \int_{0}^{\infty}\frac{du}{9+u^{2}}.
Calcular a integral conhecida:
\int_{0}^{\infty}\frac{du}{9+u^{2}} = \left[\frac{1}{3}\arctan\frac{u}{3}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}.
Portanto
I_{2} = 36\cdot\frac{\pi}{6} = 6\pi.

Passo 8

Somar as duas parcelas:
\int_{C}F\cdot d s = I_{1}+I_{2} = r^{2}\cdot\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{\pi}{2}\bigl(r^{2}+12\bigr).

Resposta

\dfrac{\left(12+r^{2}\right)\pi}{2}

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