Questão 6 - Uma máquina de massa m=10 \mathrm{~kg} é ligada a uma base móvel através de uma suspensão constituída de uma mola de rigidez k=1[k \mathrm{~N} / \mathrm{m}] e de um amortecedor cuja constante de amortecimento viscoso vale c=20[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}]. Sabendo que a base se movimenta de forma harmônica com uma frequência \omega=20[r a d / s] e com uma amplitude Y=2[\mathrm{~mm}]. Baseado nas informações apresentadas, responda as alternativas com argumentos técnicos e cálculos. (12 pontos)
B) Aumentar o valor da constante de amortecimento é uma alternativa viável para se reduzir a transmissibilidade da base ao sistema mecânico? Por que?

Passo 1

O que o enunciado pede nesta letra (B) e quais dados temos:
  • Pergunta: “Aumentar o valor da constante de amortecimento é uma alternativa viável para se reduzir a transmissibilidade da base ao sistema mecânico? Por quê?” (responder com argumentos técnicos e cálculos).
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e da figura):
    • massa: m=10\\ \mathrm{kg},
    • rigidez da mola: k=1\\ \mathrm{kN/m}=1000\\ \mathrm{N/m},
    • amortecedor: c=20\\ \mathrm{Ns/m},
    • movimento da base: frequência \omega=20\\ \mathrm{rad/s} e amplitude Y=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Informação da figura (peguei a configuração do sistema na imagem): a massa m está ligada à base via mola k e amortecedor viscoso c; a base se move com deslocamento y(t) e a massa tem deslocamento absoluto x(t).

Passo 2

Escolha do método e objetivo da resolução (sem resolver ainda):
  • Método: usar a formulação clássica de resposta harmônica de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a excitação harmônica da base. Vamos obter a função de transmissibilidade (relação entre amplitude da massa X e amplitude da base Y) e analisar como ela depende de c (através do coeficiente de amortecimento adimensional \zeta).
  • Por quê esse método: a questão trata exatamente da “transmissibilidade” (como a vibração da base é transmitida à massa) — o método padrão é derivar a razão X/Y para excitação harmônica da base e estudar o efeito de \zeta e da razão de frequências r=\omega/\omega_n.

Passo 3

Derivação didática da fórmula da transmissibilidade (passo-a-passo):
  • Equação do movimento (forma clássica): quando a base impõe y(t), a equação em x(t) é
m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{y})+k(x-y)=0.
  • Para excitação harmônica y(t)=Y e^{i\omega t} e solução estacionária x(t)=X e^{i\omega t}, substituindo na equação e cancelando e^{i\omega t} obtém-se (em domínio complexo)
(-m\omega^2 + i c\omega + k)X = (i c\omega + k)Y.
  • Assim a função de transferência (transmissibilidade complexa) é
\frac{X}{Y}=\frac{i c\omega + k}{k - m\omega^2 + i c\omega}.
  • Agora introduzimos as quantidades adimensionais usuais:
    • frequência natural \omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}},
    • razão de freqüências r=\dfrac{\omega}{\omega_n},
    • coeficiente de amortecimento adimensional \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}.
  • Reescrevendo em termos adimensionais (dividindo numerador e denominador por k e usando as definições acima) obtemos
\frac{X}{Y}=\frac{1 + i 2\zeta r}{(1 - r^2) + i 2\zeta r}.
  • A magnitude (transmissibilidade de amplitude) é então
\left|\frac{X}{Y}\right|=\sqrt{\dfrac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.
  • Observações didáticas sobre as variáveis:
    • \omega_n indica onde o sistema teria ressonância sem amortecimento.
    • r<1 é região de baixa frequência (a massa tende a seguir a base: |X/Y|\approx 1 quando r\to 0).
    • r\approx 1 é região da ressonância (a transmissibilidade pode ser grande se \zeta pequeno).
    • r>1 é região de isolamento (em geral |X/Y| decresce quando r aumenta, mas o efeito do amortecimento pode ser contra-intuitivo ali).

Passo 4

Calcular os parâmetros numéricos do sistema com os dados dados:
  • \omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1000}{10}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • razão de frequência:
r=\dfrac{\omega}{\omega_n}=\dfrac{20}{10}=2.
  • coeficiente de amortecimento adimensional atual:
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}=\dfrac{20}{2\cdot 10\cdot 10}=\dfrac{20}{200}=0{,}1.

Passo 5

Calcular a transmissibilidade atual ( \zeta=0{,}1, r=2) e a amplitude da massa:
  • Usando
\left|\frac{X}{Y}\right|=\sqrt{\dfrac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},
substituindo \zeta=0{,}1 e r=2:
2\zeta r=2\cdot 0{,}1\cdot 2=0{,}4,
\text{numerador}=1+(0{,}4)^2=1{,}16,\qquad \text{denominador}=(1-4)^2+(0{,}4)^2=9+0{,}16=9{,}16.
Logo
\left|\frac{X}{Y}\right|=\sqrt{\dfrac{1{,}16}{9{,}16}}=\dfrac{\sqrt{1{,}16}}{\sqrt{9{,}16}}\approx\dfrac{1{,}077}{3{,}027}\approx0{,}356.
Amplitude absoluta da massa:
X = Y\left|\frac{X}{Y}\right| = 0{,}002\\ \mathrm{m}\times 0{,}356 = 0{,}000712\\ \mathrm{m}=0{,}712\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Efeito de aumentar c: exemplo numérico simples (duplicar c) para ver tendência prática
  • Se dobrarmos c para c=40\\ \mathrm{Ns/m}, então \zeta dobra para \zeta=0{,}2.
  • Calcular |X/Y| com \zeta=0{,}2 e r=2:
2\zeta r=2\cdot 0{,}2\cdot 2=0{,}8,
\text{numerador}=1+(0{,}8)^2=1{,}64,\qquad \text{denominador}=9+(0{,}8)^2=9{,}64.
\left|\frac{X}{Y}\right|=\sqrt{\dfrac{1{,}64}{9{,}64}}=\dfrac{\sqrt{1{,}64}}{\sqrt{9{,}64}}\approx\dfrac{1{,}281}{3{,}105}\approx0{,}413.
Amplitude absoluta da massa:
X = 0{,}002\\ \mathrm{m}\times 0{,}413 = 0{,}000825\\ \mathrm{m}=0{,}825\\ \mathrm{mm}.
  • Conclusão numérica imediata: ao aumentar c de 20 para 40\\ \mathrm{Ns/m} a transmissibilidade |X/Y| aumentou de 0{,}356 para 0{,}413, e a amplitude X aumentou de 0{,}712\\ \mathrm{mm} para 0{,}825\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação física geral (fundamento técnico):
  • Comportamento da transmissibilidade conforme r (situações típicas):
    • Baixas frequências ( r\ll 1): |X/Y|\approx 1 (a massa acompanha a base); amortecimento tem pouco efeito.
    • Próximo da ressonância ( r\approx 1): amortecimento reduz fortemente o pico de transmissibilidade (bom para proteger contra grandes amplitudes ressonantes).
    • Altas frequências ( r\gg 1): para excitação da base a assíntota de |X/Y| é aproximadamente \dfrac{2\zeta}{r}. Assim, em altas frequências a transmissibilidade decresce com r mas é proporcional a \zeta — ou seja, maior amortecimento tende a aumentar a transmissibilidade nessa região.
  • Implicação prática: aumentar c (logo aumentar \zeta) é eficaz para reduzir o pico na região de ressonância ( r\approx 1). Porém, se a frequência de excitação está já na região de isolamento ( r> \sqrt{2} ou em geral r>1), aumentar o amortecimento pode aumentar a transmissão da vibração (piorar a isolação).
  • No nosso caso numérico r=2 (a base vibra a 20\\ \mathrm{rad/s} enquanto \omega_n=10\\ \mathrm{rad/s}), estamos na região de isolamento relativa. A análise e o exemplo numérico mostraram que aumentar c aumentou a transmissibilidade e a amplitude da massa. Portanto, aumentar o amortecimento não é uma boa medida para reduzir a transmissão para esta frequência.

Passo 8

Recomendações práticas alternativas (curta orientação para prova/engenharia):
  • Se o objetivo é reduzir a vibração transmitida na frequência \omega=20\\ \mathrm{rad/s} e r=2, estratégias melhores são:
    • aumentar \omega_n (aumentar k ou reduzir m) para reduzir r ou deslocar a condição relativa (outra forma é fazer \omega_n muito maior que \omega ou muito menor, dependendo da estratégia),
    • usar isolamento por elemento com baixa rigidez para deslocar \omega_n para muito abaixo da frequência de excitação (ficar em regime onde r\ll 1 não é viável aqui) ou projetar para r muito maior com pouca amortecimento,
    • usar um absorvedor sintonizado se a excitação estiver localizada em faixa estreita de frequência,
    • reduzir a fonte da excitação (se possível).
  • Em resumo: o amortecimento não é uma “cura” universal — ele reduz picos ressonantes, mas pode aumentar transmissão em regime de isolamento. Deve-se escolher a estratégia apropriada conforme a razão r entre excitação e frequência natural.

Resposta

Não — aumentar c não é, em geral, uma alternativa viável para reduzir a transmissibilidade: o amortecimento reduz o pico em ressonância ( r\approx 1) mas, para a frequência dada ( r=2), maior amortecimento aumenta a transmissibilidade. Numericamente, com os dados fornecidos \left(\omega_n=10\\ \mathrm{rad/s},\\ r=2,\\ \zeta=0{,}1\right) tem-se |X/Y|\approx 0{,}356 ( X\approx 0{,}712\\ \mathrm{mm}); duplicando c ( \zeta=0{,}2) obtém-se |X/Y|\approx 0{,}413 ( X\approx 0{,}825\\ \mathrm{mm}), ou seja, a transmissão aumenta.

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