Questão 3 - O pistão de massa igual 45 kg é apoiado por uma mola de constante \mathrm{k}= 35 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Um amortecedor com coeficiente de amortecimento \mathrm{c}=1250 \mathrm{Ns} / \mathrm{m} atua em paralelo com a mola. Uma pressão flutuante p=4000 \operatorname{sen}(30 t), em Pascal, atua sobre o pistão, cuja área da superfície superior é de 50 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}. Determine a amplitude de deslocamento em regime permanente (em milímetros). Para atenuar essa amplitude, qual é a variável mais significativa (a que exerce maior influência na resposta)? Justifique sua resposta com argumentos técnicos.

Passo 1

O enunciado pede a amplitude do deslocamento em regime permanente (em milímetros) para um pistão massa-mola-amortecedor submetido a uma pressão harmônica. Dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado / figura):
  • Massa: m=45\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=35\\ \mathrm{kN/m}=35000\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento: c=1250\\ \mathrm{Ns/m}.
  • Pressão aplicada: p(t)=p_0\sin(\omega t) com p_0=4000\\ \mathrm{Pa} e \omega=30\\ \mathrm{rad/s}.
  • Área da superfície superior do pistão: A=50\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^2}=0,05\\ \mathrm{m^2}.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular a amplitude do deslocamento em regime permanente (isto é, amplitude da resposta forçada em estado estacionário) em milímetros.
  2. Indicar qual variável, se alterada, exerce maior influência na atenuação dessa amplitude e justificar tecnicamente.

Passo 2

Modelo matemático e significado físico das grandezas.
  • Equação do movimento (forçado e amortecido, grau de liberdade vertical x(t), sinais convensionais):
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + k x(t) = F(t),
onde:
  • \ddot{x}(t) é a aceleração do pistão ( \mathrm{m/s^2}),
  • \dot{x}(t) é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • x(t) é o deslocamento ( \mathrm{m}),
  • F(t) é a força resultante externa aplicada ao pistão ( \mathrm{N}).
  • A força aplicada pela pressão é a pressão vezes a área:
F(t)=p(t)\,A = p_0 A \sin(\omega t).
Definimos F_0 = p_0 A (amplitude da força).
  • Para resposta em regime permanente a uma excitação harmônica \sin(\omega t) procuramos a solução particular harmônica da forma
x_p(t)=X\sin(\omega t - \varphi),
onde X é a amplitude (o que precisamos calcular) e \varphi é a defasagem. Uma forma prática de obter X é usar a representação complexa (fasores): a rigidez dinâmica (impedância) complexa é
Z(\omega) = k - m\omega^2 + i c\omega,
e a amplitude resulta da relação
X(\omega) = \frac{F_0}{\lvert Z(\omega)\rvert} = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}.
Explicação curta do porquê: as componentes em fase e em quadratura das forças (inércia, mola e amortecedor) somam vetorialmente; o denominador é a magnitude dessa soma. Essa é a fórmula padrão da resposta em frequência para um oscilador massa-mola-amortecedor forçado harmonicamente.

Passo 3

Calcular numericamente a amplitude usando a fórmula do Passo 2.
  • Primeiro a amplitude da força:
F_0 = p_0 A = 4000 \times 0,05 = 200\\ \mathrm{N}.
  • Calcular \omega^2 e m\omega^2:
\omega^2 = 30^2 = 900\\ (\mathrm{rad^2/s^2}), \qquad m\omega^2 = 45 \times 900 = 40500\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcular k - m\omega^2:
k - m\omega^2 = 35000 - 40500 = -5500\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcular c\omega:
c\omega = 1250 \times 30 = 37500\\ \mathrm{N\cdot s/m \cdot rad/s} \\ (\text{unidade numérica em N/m}).é
  • Agora o denominador da expressão de X:
\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2} = \sqrt{(-5500)^2 + (37500)^2} = \sqrt{30\,250\,000 + 1\,406\,250\,000} = \sqrt{1\,436\,500\,000}.
Calcule a raiz:
\sqrt{1\,436\,500\,000}\approx 37901{,}2\\ \mathrm{N/m}.
  • Finalmente a amplitude X em metros:
X = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}} = \frac{200}{37901{,}2}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}0052777\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros:
X \approx 0{,}0052777\\ \mathrm{m}=5{,}2777\\ \mathrm{mm}\approx 5{,}28\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Interpretação física e escolha da variável mais significativa para atenuar a amplitude (com justificativas técnicas e comparações numéricas).
  • Primeiro observar posição do sistema em relação à ressonância:
    • Frequência natural do sistema (sem amortecimento):
    \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{35000}{45}}\approx 27{,}86\\ \mathrm{rad/s}.
    A excitação tem \omega=30\\ \mathrm{rad/s}, ou seja, está muito próxima de \omega_n. Isso significa que o sistema está quase em condição de ressonância, onde a amplitude tende a aumentar se o amortecimento for pequeno.
  • Cálculo do fator de amortecimento (razão adimensional \zeta):
\zeta = \frac{c}{2 m \omega_n} = \frac{1250}{2\times45\times27{,}86}\approx 0{,}50.
Esse valor indica amortecimento moderado (metade do crítico), portanto o amortecimento já ajuda a controlar a amplitude, mas ainda estamos perto de um pico de resposta.
  • Regra prática em ressonância: quando \omega\approx\omega_n a amplitude aproximada é
X_{\text{res}}\approx \frac{F_0}{c\,\omega_n},
ou seja, em torno da ressonância a amplitude é inversamente proporcional a c. Isso mostra que aumentar c reduz fortemente o pico de resposta quando se está próximo de \omega_n.
  • Comparações numéricas rápidas (para ver “qual variável mais influencia”):
    • Dobrar c ( c\to 2500\\ \mathrm{Ns/m}): c\omega = 2500\times30=75000,\quad \text{denominador}\approx\sqrt{30{,}25\cdot10^6 + 75{,}000^2} \Rightarrow X\approx\frac{200}{75{,}200}\approx 0{,}00266\\ \mathrm{m}=2{,}66\\ \mathrm{mm}.Amplitude caiu de \approx5{,}28\\ \mathrm{mm} para \approx2{,}66\\ \mathrm{mm} (redução significativa).
    • Dobrar k ( k\to70000\\ \mathrm{N/m}): k-m\omega^2=70000-40500=29500,\quad \text{denominador}\approx47707\Rightarrow X\approx\frac{200}{47707}\approx0{,}00419\\ \mathrm{m}=4{,}19\\ \mathrm{mm}.Redução menos pronunciada que ao dobrar c.
    • Dobrar m ( m\to90\\ \mathrm{kg}): m\omega^2=81000,\quad k-m\omega^2=35000-81000=-46000,\quad \text{denominador}\approx59351\Rightarrow X\approx0{,}00337\\ \mathrm{m}=3{,}37\\ \mathrm{mm}.Também reduz, mas não tanto quanto dobrar c.
    • Diminuir a amplitude da excitação (por exemplo reduzir p_0 ou a área A) atua linearmente: se F_0 for reduzido pela metade, X cai pela metade. Isso é muito eficaz, mas pode não ser praticável se p_0 e A são condições de operação.
  • Conclusão técnica:
    • Como a excitação está muito próxima da frequência natural, o termo amortecedor aparece multiplicado por \omega dentro do denominador e domina a resposta na vizinhança da ressonância. Portanto, a variável que mais influencia e que é mais efetiva para atenuar a amplitude neste caso é o coeficiente de amortecimento c (aumentar c reduz fortemente a amplitude do pico ressonante).
    • Observação adicional: alterar k ou m desloca \omega_n e, se for possível deslocar \omega_n para longe de \omega, também se reduz a amplitude; porém, para conseguir efeito comparável pode ser necessário uma alteração estrutural grande. Aumentar c costuma ser a medida prática e eficiente para atenuação próxima à ressonância.

Passo 5

Resumo prático e ânimo: o resultado numérico é razoável (amplitude de alguns milímetros) e, se quiser reduzir isso antes da prova, memorize a fórmula da resposta em frequência e a regra prática em ressonância X_{\text{res}}\approx F_0/(c\omega_n) — com isso sabe identificar rapidamente qual parâmetro mexer.

Resposta

5{,}28 mm

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