Questão 3 - O pistão de massa igual 45 kg é apoiado por uma mola de constante
. Um amortecedor com coeficiente de amortecimento
atua em paralelo com a mola. Uma pressão flutuante
, em Pascal, atua sobre o pistão, cuja área da superfície superior é de
. Determine a amplitude de deslocamento em regime permanente (em milímetros). Para atenuar essa amplitude, qual é a variável mais significativa (a que exerce maior influência na resposta)? Justifique sua resposta com argumentos técnicos.
Passo 1
O enunciado pede a amplitude do deslocamento em regime permanente (em milímetros) para um pistão massa-mola-amortecedor submetido a uma pressão harmônica. Dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado / figura):
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Coeficiente de amortecimento:
. - Pressão aplicada:
com e . - Área da superfície superior do pistão:
.
O que o enunciado pede:
- Calcular a amplitude do deslocamento em regime permanente (isto é, amplitude da resposta forçada em estado estacionário) em milímetros.
- Indicar qual variável, se alterada, exerce maior influência na atenuação dessa amplitude e justificar tecnicamente.
Passo 2
Modelo matemático e significado físico das grandezas.
- Equação do movimento (forçado e amortecido, grau de liberdade vertical
, sinais convensionais):
onde:
-
é a aceleração do pistão ( ), -
é a velocidade ( ), -
é o deslocamento ( ), -
é a força resultante externa aplicada ao pistão ( ). -
A força aplicada pela pressão é a pressão vezes a área:
Definimos
(amplitude da força).
- Para resposta em regime permanente a uma excitação harmônica
procuramos a solução particular harmônica da forma
onde
é a amplitude (o que precisamos calcular) e
é a defasagem. Uma forma prática de obter
é usar a representação complexa (fasores): a rigidez dinâmica (impedância) complexa é
e a amplitude resulta da relação
Explicação curta do porquê: as componentes em fase e em quadratura das forças (inércia, mola e amortecedor) somam vetorialmente; o denominador é a magnitude dessa soma. Essa é a fórmula padrão da resposta em frequência para um oscilador massa-mola-amortecedor forçado harmonicamente.
Passo 3
Calcular numericamente a amplitude usando a fórmula do Passo 2.
- Primeiro a amplitude da força:
- Calcular
e :
- Calcular
:
- Calcular
:
- Agora o denominador da expressão de
:
Calcule a raiz:
- Finalmente a amplitude
em metros:
- Converter para milímetros:
Passo 4
Interpretação física e escolha da variável mais significativa para atenuar a amplitude (com justificativas técnicas e comparações numéricas).
-
Primeiro observar posição do sistema em relação à ressonância:
- Frequência natural do sistema (sem amortecimento):
A excitação tem, ou seja, está muito próxima de . Isso significa que o sistema está quase em condição de ressonância, onde a amplitude tende a aumentar se o amortecimento for pequeno. -
Cálculo do fator de amortecimento (razão adimensional
):
Esse valor indica amortecimento moderado (metade do crítico), portanto o amortecimento já ajuda a controlar a amplitude, mas ainda estamos perto de um pico de resposta.
- Regra prática em ressonância: quando
a amplitude aproximada é
ou seja, em torno da ressonância a amplitude é inversamente proporcional a
. Isso mostra que aumentar
reduz fortemente o pico de resposta quando se está próximo de
.
-
Comparações numéricas rápidas (para ver “qual variável mais influencia”):
- Dobrar
( ): Amplitude caiu de para (redução significativa). - Dobrar
( ): Redução menos pronunciada que ao dobrar . - Dobrar
( ): Também reduz, mas não tanto quanto dobrar . - Diminuir a amplitude da excitação (por exemplo reduzir
ou a área ) atua linearmente: se for reduzido pela metade, cai pela metade. Isso é muito eficaz, mas pode não ser praticável se e são condições de operação.
- Dobrar
-
Conclusão técnica:
- Como a excitação está muito próxima da frequência natural, o termo amortecedor aparece multiplicado por
dentro do denominador e domina a resposta na vizinhança da ressonância. Portanto, a variável que mais influencia e que é mais efetiva para atenuar a amplitude neste caso é o coeficiente de amortecimento (aumentar reduz fortemente a amplitude do pico ressonante). - Observação adicional: alterar
ou desloca e, se for possível deslocar para longe de , também se reduz a amplitude; porém, para conseguir efeito comparável pode ser necessário uma alteração estrutural grande. Aumentar costuma ser a medida prática e eficiente para atenuação próxima à ressonância.
- Como a excitação está muito próxima da frequência natural, o termo amortecedor aparece multiplicado por
Passo 5
Resumo prático e ânimo: o resultado numérico é razoável (amplitude de alguns milímetros) e, se quiser reduzir isso antes da prova, memorize a fórmula da resposta em frequência e a regra prática em ressonância
— com isso sabe identificar rapidamente qual parâmetro mexer.
Resposta
5{,}28 mm