Questão 6 - Uma máquina de massa
é ligada a uma base móvel através de uma suspensão constituída de uma mola de rigidez
e de um amortecedor cuja constante de amortecimento viscoso vale
. Sabendo que a base se movimenta de forma harmônica com uma frequência
e com uma amplitude
. Baseado nas informações apresentadas, responda as alternativas com argumentos técnicos e cálculos. (12 pontos)
A) A suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base? Por que?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os símbolos e o esquema da figura fornecida).
- Dados numéricos:
- massa:
. - rigidez:
. - amortecimento viscoso:
. - movimento da base: frequência
e amplitude .
- massa:
- O enunciado pergunta:
- (A) A suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base? justificar com argumentos técnicos e cálculos.
- Da figura (esquema massa-mola-amortecedor): está indicado o deslocamento da massa
e o deslocamento da base .
Passo 2
Conceito básico e equação do movimento para excitação pela base (explicação didática).
- Para um sistema massa-mola-amortecedor com base excitada harmonicamente, é útil trabalhar com o deslocamento relativo
onde é o deslocamento absoluto da massa e o da base. - A equação do movimento, escrita em termos de
, é Reescrevendo em termos de (isto simplifica o tratamento do forçamento), - Interpretação física das parcelas:
-
é a inércia relativa, -
é a força viscosa relativa, -
é a força elástica relativa, - o termo
é o “forçamento eficaz” que aparece quando a base acelera.
-
Passo 3
Resposta em regime permanente para excitação harmônica e expressão da amplitude relativa.
- Se a base se move harmonicamente,
então e o termo da direita torna-se . - A solução estacionária para
tem forma harmônica com amplitude dada por (resultado padrão da resolução da ODE por métodos de resposta em frequência): - Explicando as quantidades na fórmula:
-
é a “força de inércia” proporcionada pela aceleração da base (multiplicada pela amplitude), - o denominador é o módulo da impedância dinâmica
, que mede a oposição ao movimento na frequência .
-
Passo 4
Definição de transmissibilidade (razão entre amplitude da massa e amplitude da base) e fórmula final.
- O deslocamento absoluto da massa tem amplitude
que é soma vetorial (fase incluída) entre e . O resultado clássico e útil é a transmissibilidade (fator de amplificação) definido por onde as grandezas adimensionais são: - razão de frequência
, - razão de amortecimento
, - frequência natural não amortecida
.
- razão de frequência
- Interpretação curta:
- se
a amplitude da massa é menor que a amplitude da base → há isolamento efetivo; - se
a massa sofre amplitude maior que a base → não há isolamento (ou há amplificação).
- se
Passo 5
Cálculo da frequência natural
e do coeficiente de amortecimento
(passo a passo).
- Calcular
: - Calcular
:
Passo 6
Calcular a razão de frequência
.
- Temos
Passo 7
Cálculo numérico do fator de transmissibilidade
com passos aritméticos claros.
- Primeiro calcule
: - Agora calcule o numerador dentro da raiz:
- Calcule o denominador dentro da raiz:
- Finalmente,
Passo 8
Calcular a amplitude absoluta da massa
e comparar com
.
-
, portanto - Comparação direta: a base tem amplitude
e a massa tem amplitude . A massa vibra com amplitude menor que a base.
Passo 9
Interpretação técnica e conclusão (por que isso indica isolamento).
- Critério prático: quando a razão de frequência
normalmente o sistema entra na região de isolamento (transmissibilidade menor que 1), exceto que o amortecimento pode alterar ligeiramente o valor exato. Aqui , portanto está na região de isolamento. - Resultado numérico confirma:
. Isso significa que a suspensão reduz a amplitude transmitida da base à massa em aproximadamente (ou seja, a massa vibra com cerca de da amplitude da base). - Observação sobre o amortecimento: aumentar o amortecimento tende a diminuir o pico de ressonância próximo a
(bom para evitar amplificação na ressonância), mas, em geral, amortecimento excessivo pode aumentar ligeiramente a transmissibilidade na região de isolamento (altas frequências). Com esse sistema tem amortecimento baixo-moderado — suficiente para controlar pico, e ainda mantém boa isolação em . - Conclusão técnica final: sim, a suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base nas condições dadas, porque a transmissibilidade é menor que
(a amplitude na massa cai de para aproximadamente ).
Resposta
Sim. A suspensão é eficaz: transmissibilidade
, portanto a amplitude da massa fica
enquanto a base tem
.