Questão 6 - Uma máquina de massa m=10 \mathrm{~kg} é ligada a uma base móvel através de uma suspensão constituída de uma mola de rigidez k=1[k \mathrm{~N} / \mathrm{m}] e de um amortecedor cuja constante de amortecimento viscoso vale c=20[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}]. Sabendo que a base se movimenta de forma harmônica com uma frequência \omega=20[r a d / s] e com uma amplitude Y=2[\mathrm{~mm}]. Baseado nas informações apresentadas, responda as alternativas com argumentos técnicos e cálculos. (12 pontos)
A) A suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base? Por que?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os símbolos e o esquema da figura fornecida).
  • Dados numéricos:
    • massa: m=10\\ \mathrm{kg}.
    • rigidez: k=1\\ \mathrm{kN/m}=1000\\ \mathrm{N/m}.
    • amortecimento viscoso: c=20\\ \mathrm{Ns/m}.
    • movimento da base: frequência \omega=20\\ \mathrm{rad/s} e amplitude Y=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pergunta:
    • (A) A suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base? justificar com argumentos técnicos e cálculos.
  • Da figura (esquema massa-mola-amortecedor): está indicado o deslocamento da massa x(t) e o deslocamento da base y(t).

Passo 2

Conceito básico e equação do movimento para excitação pela base (explicação didática).
  • Para um sistema massa-mola-amortecedor com base excitada harmonicamente, é útil trabalhar com o deslocamento relativo z(t)=x(t)-y(t),onde x(t) é o deslocamento absoluto da massa e y(t) o da base.
  • A equação do movimento, escrita em termos de x, é m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{y})+k(x-y)=0.Reescrevendo em termos de z (isto simplifica o tratamento do forçamento), m\ddot{z}+c\dot{z}+kz=-m\ddot{y}.
  • Interpretação física das parcelas:
    • m\ddot{z} é a inércia relativa,
    • c\dot{z} é a força viscosa relativa,
    • kz é a força elástica relativa,
    • o termo -m\ddot{y} é o “forçamento eficaz” que aparece quando a base acelera.

Passo 3

Resposta em regime permanente para excitação harmônica e expressão da amplitude relativa.
  • Se a base se move harmonicamente, y(t)=Y\sin(\omega t),então \ddot{y}=-\omega^2 Y\sin(\omega t) e o termo da direita torna-se m\omega^2 Y\sin(\omega t).
  • A solução estacionária para z(t) tem forma harmônica z(t)=Z\sin(\omega t-\varphi) com amplitude Z dada por (resultado padrão da resolução da ODE por métodos de resposta em frequência): Z=\frac{m\omega^2 Y}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
  • Explicando as quantidades na fórmula:
    • m\omega^2 Y é a “força de inércia” proporcionada pela aceleração da base (multiplicada pela amplitude),
    • o denominador é o módulo da impedância dinâmica \sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}, que mede a oposição ao movimento na frequência \omega.

Passo 4

Definição de transmissibilidade (razão entre amplitude da massa e amplitude da base) e fórmula final.
  • O deslocamento absoluto da massa tem amplitude X que é soma vetorial (fase incluída) entre y e z. O resultado clássico e útil é a transmissibilidade (fator de amplificação) definido por T=\frac{X}{Y}=\sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},onde as grandezas adimensionais são:
    • razão de frequência r=\dfrac{\omega}{\omega_n},
    • razão de amortecimento \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n},
    • frequência natural não amortecida \omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Interpretação curta:
    • se T<1 a amplitude da massa é menor que a amplitude da base → há isolamento efetivo;
    • se T>1 a massa sofre amplitude maior que a base → não há isolamento (ou há amplificação).

Passo 5

Cálculo da frequência natural \omega_n e do coeficiente de amortecimento \zeta (passo a passo).
  • Calcular \omega_n: \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{10}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular \zeta: \zeta=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{20}{2\cdot 10\cdot 10}=\frac{20}{200}=0,1.

Passo 6

Calcular a razão de frequência r.
  • Temos r=\frac{\omega}{\omega_n}=\frac{20}{10}=2.

Passo 7

Cálculo numérico do fator de transmissibilidade T com passos aritméticos claros.
  • Primeiro calcule 2\zeta r: 2\zeta r=2\cdot 0,1\cdot 2=0,4.
  • Agora calcule o numerador dentro da raiz: 1+(2\zeta r)^2=1+(0,4)^2=1+0,16=1,16.
  • Calcule o denominador dentro da raiz: (1-r^2)^2+(2\zeta r)^2=(1-4)^2+0,16=(-3)^2+0,16=9+0,16=9,16.
  • Finalmente, T=\sqrt{\frac{1,16}{9,16}}=\sqrt{0,1266\ldots}\approx 0,356.

Passo 8

Calcular a amplitude absoluta da massa X e comparar com Y.
  • X=T\cdot Y, portanto X\approx 0,356\cdot 0,002\\ \mathrm{m}=0,000712\\ \mathrm{m}=0,712\\ \mathrm{mm}.
  • Comparação direta: a base tem amplitude Y=2,00\\ \mathrm{mm} e a massa tem amplitude X\approx0,712\\ \mathrm{mm}. A massa vibra com amplitude menor que a base.

Passo 9

Interpretação técnica e conclusão (por que isso indica isolamento).
  • Critério prático: quando a razão de frequência r>\sqrt{2}\approx 1,414 normalmente o sistema entra na região de isolamento (transmissibilidade menor que 1), exceto que o amortecimento pode alterar ligeiramente o valor exato. Aqui r=2>\sqrt{2}, portanto está na região de isolamento.
  • Resultado numérico confirma: T\approx0,356<1. Isso significa que a suspensão reduz a amplitude transmitida da base à massa em aproximadamente 64{,}4\% (ou seja, a massa vibra com cerca de 35{,}6\% da amplitude da base).
  • Observação sobre o amortecimento: aumentar o amortecimento tende a diminuir o pico de ressonância próximo a r\approx1 (bom para evitar amplificação na ressonância), mas, em geral, amortecimento excessivo pode aumentar ligeiramente a transmissibilidade na região de isolamento (altas frequências). Com \zeta=0,1 esse sistema tem amortecimento baixo-moderado — suficiente para controlar pico, e ainda mantém boa isolação em r=2.
  • Conclusão técnica final: sim, a suspensão é eficaz para isolar o sistema das movimentações da base nas condições dadas, porque a transmissibilidade é menor que 1 (a amplitude na massa cai de 2,00\\ \mathrm{mm} para aproximadamente 0,712\\ \mathrm{mm}).

Resposta

Sim. A suspensão é eficaz: transmissibilidade T\approx0,356<1, portanto a amplitude da massa fica X\approx0,712\\ \mathrm{mm} enquanto a base tem Y=2,00\\ \mathrm{mm}.

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