Questão 1

Marque a única alternativa FALSA sobre A.
Escolha uma opção:
8 é autovalor de A \bigcirc
( -1,0,1 ) é autovetor de A. \bigcirc
A é diagonalizável. \bigcirc
( -1,-1,1 ) é autovetor de A. \bigcirc
-3 é autovalor de A \bigcirc

Passo 1

O enunciado pede: "Marque a única alternativa FALSA sobre A". As alternativas são (transcrevo exatamente as opções dadas):
\n8 é autovalor de A.
\n (-1,0,1) é autovetor de A.
\n A é diagonalizável.
\n (-1,-1,1) é autovetor de A.
\n -3 é autovalor de A.
\nInformações fornecidas pelo enunciado: nenhuma outra — o enunciado não dá a matriz A, nem seu polinômio característico, nem imagens ou tabelas contendo A. Portanto, com os dados que você me passou aqui, não há explicitamente nenhum valor ou entrada da matriz A.

Passo 2

O que significa cada afirmação (definições fundamentais, bem devagar e didático):
\nUm escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
\nUm vetor v\neq 0 é autovetor de A associado ao autovalor \lambda se a igualdade acima vale. Em palavras: aplicar A em v apenas alonga/encolhe/ muda o sinal de v, sem mudar sua direção (apenas o sentido e o comprimento).
\nUma matriz A n\times n é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) composta só de autovetores de A. Equivalentemente, se existe uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que
A = PDP^{-1}.

Passo 3

Como testar na prática cada tipo de afirmação quando você tiver A:
\n- Para verificar se \lambda é autovalor: calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). \lambda é autovalor sse
\det(A-\lambda I)=0.
\nAlternativa prática (sem expandir o determinante): testar se o sistema (A-\lambda I)x=0 tem solução não-trivial — isso ocorre quando A-\lambda I é singular (determinante zero).
\n- Para verificar se um vetor v é autovetor: calcular Av e ver se existe \lambda tal que Av=\lambda v. Se isso ocorrer, \lambda é o autovalor associado e v é autovetor. Se não ocorrer, o vetor não é autovetor.
\nObservação importante: um vetor v pode parecer ser autovetor se Av for proporcional a v; a verificação é direta fazendo as contas.

Passo 4

Como verificar diagonalizabilidade na prova (passo a passo):
\n1) Encontre todos os autovalores (raizes do polinômio característico).
\n2) Para cada autovalor \lambda, calcule a multiplicidade algébrica m_a(\lambda) (a multiplicidade como raiz do polinômio característico) e a multiplicidade geométrica m_g(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I) (número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda).
\n3) Teorema prático: A é diagonalizável sse, para todo autovalor \lambda, vale m_g(\lambda)=m_a(\lambda) (ou, equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas é n). Em particular, se todos os autovalores forem distintos (raízes simples), então A é diagonalizável automaticamente.

Passo 5

Exemplos ilustrativos (mostrando que, sem A, as alternativas podem dar resultados diferentes dependendo de A):
\nExemplo 1 — considere a matriz diagonal
A_1=\begin{pmatrix}8&0&0\\[4pt]0&-3&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}.
\nAqui os autovalores são 8,-3,2. Os autovetores associados formam a base canônica e_1,e_2,e_3. Verificações:
\n -3 é autovalor (verdade).
\n 8 é autovalor (verdade).
\n (-1,0,1) não é autovetor de A_1 porque
A_1(-1,0,1)=(-8,0,2)
que não é múltiplo escalar de (-1,0,1).
\n A_1 é diagonalizável (verdade), pois já é diagonal.
\nPortanto, num caso concreto A_1, a alternativa falsa seria precisamente a que afirma que (-1,0,1) é autovetor.]

Passo 6

Outro exemplo mostrando comportamento diferente:
\nExemplo 2 — considere a matriz cuja base de autovetores inclui (-1,0,1):
A_2 = P D P^{-1},
\nonde por exemplo tomamos D=\operatorname{diag}(8,5,-3) e escolhemos P cujas colunas sejam vetores linearmente independentes (-1,0,1),\;(-1,-1,1),\;u (com u escolhido para completar a base). Então (-1,0,1) e (-1,-1,1) seriam autovetores, 8 e -3 poderiam ser autovalores dependendo de como associamos as colunas de P aos valores da diagonal de D. Nesse caso particular é possível que as quatro primeiras afirmações sejam verdadeiras e a que resta (se houver) seja falsa, ou que outra combinação ocorra.
\nIsto mostra que, sem a matriz A ou informação equivalente (polinômio característico, autovetores, matriz de similaridade, etc.), as alternativas podem ser verdadeiras ou falsas dependendo de A.

Passo 7

Resumo do procedimento que você deve fazer na prova (recebe a matriz A e em poucos passos decide qual opção é falsa):
\n1) Se tiver A, calcule Av para os vetores dados (-1,0,1) e (-1,-1,1). Se Av não for proporcional ao vetor testado, essa opção é falsa.
\n2) Calcule \det(A-\lambda I) (ou resolva (A-\lambda I)x=0) para \lambda=8 e \lambda=-3. Se algum desses \lambda não anular o determinante (ou se (A-\lambda I) for invertível), então a afirmação correspondente é falsa.
\n3) Para diagonalizabilidade, encontre todos os autovalores e compare multiplicidades algébrica e geométrica como descrito no Passo 4. Se em algum autovalor m_g(\lambda)<m_a(\lambda), então A não é diagonalizável (a afirmação " A é diagonalizável" seria falsa); se para todos m_g(\lambda)=m_a(\lambda), a afirmação é verdadeira.
\nDica prática: testar vetores é mais rápido (só multiplicar A por um vetor). Testar autovalor por (A-\lambda I)x=0 muitas vezes dá resposta sem expandir todo o polinômio característico.

Passo 8

Conclusão direta sobre o enunciado que você me passou:
\nO enunciado pede para marcar a única alternativa falsa sobre A, mas não fornece a matriz A nem informação equivalente. Sem A não há como decidir qual alternativa é a única falsa, porque, como mostrei nos exemplos, diferentes matrizes A podem tornar alternativas diferentes falsas. Portanto, com os dados atuais não é possível identificar unicamente a alternativa falsa.

Resposta

Não é possível determinar a alternativa falsa porque a matriz A não foi fornecida.

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