Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas:
A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} A(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado fornece a transformação A:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
A(x,y)=(x+y,\;x-y).
O que nos é pedido: mostrar que A é sobrejetiva (isto é, que para todo vetor alvo em \mathbb{R}^2 existe pelo menos um vetor de origem que é levado a ele por A).\n
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são \mathbb{R}^2 e a fórmula explícita de A em coordenadas.

Passo 2

Definição clara do objetivo (surjetividade): dizer que A é sobrejetiva significa provar que
\text{para todo }(u,v)\in\mathbb{R}^2\\ \text{existe }(x,y)\in\mathbb{R}^2\\ \text{tal que }A(x,y)=(u,v).
Em palavras: dado qualquer par (u,v) como saída desejada, devemos encontrar um par (x,y) que produz exatamente (u,v) pela regra de A.

Passo 3

Representação matricial e ideia de método: escrevemos A com respeito à base canônica como multiplicação por uma matriz. A ação
A(x,y)=(x+y,\;x-y)
corresponde à multiplicação
\begin{pmatrix}x+y\\[4pt] x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Denotando M=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, temos A(v)=M v. Uma razão prática para checar sobrejetividade é verificar se as colunas de M geram \mathbb{R}^2 (ou equivalentemente se M é invertível). Uma matriz invertível tem colunas linearmente independentes e, portanto, geram todo \mathbb{R}^2, garantindo surjetividade.]

Passo 4

Cálculo do determinante de M para verificar invertibilidade:
\det(M)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
Como \det(M)=-2\neq 0, a matriz M é invertível. Explicando o porquê: determinante diferente de zero implica que existe uma matriz M^{-1} tal que M^{-1}M=I; assim, dado qualquer vetor b, tomar v=M^{-1}b produz Mv=b. Isso mostra que M (e portanto A) é sobrejetiva.

Passo 5

Construção explícita da inversa (útil para a prova e para a prova construtiva): a inversa de M é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Logo, para um alvo qualquer (u,v) temos a preimagem explícita
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}u\\[4pt] v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{u+v}{2}\\[4pt] \tfrac{u-v}{2}\end{pmatrix}.
Isso mostra construtivamente que para todo (u,v) existe um (x,y) tal que A(x,y)=(u,v), ou seja, A é sobrejetiva.]

Passo 6

Solução direta do sistema (uma forma ainda mais elementar, sem falar de matrizes): escrever as equações obtidas de A(x,y)=(u,v)\), \[\begin{cases} x+y=u,\\[4pt] x-y=v. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2x=u+v\], portanto \(x=\tfrac{u+v}{2}. Subtraindo a segunda da primeira obtemos 2y=u-v, portanto y=\tfrac{u-v}{2}. Como esses valores existem para quaisquer u,v, o sistema é sempre solucionável e A é sobrejetiva.]

Passo 7

Verificação final (checar que a preimagem encontrada funciona): com x=\tfrac{u+v}{2} e y=\tfrac{u-v}{2},
x+y=\tfrac{u+v}{2}+\tfrac{u-v}{2}=u,
x-y=\tfrac{u+v}{2}-\tfrac{u-v}{2}=v.
Portanto A(x,y)=(u,v) como desejado. Conclusão: para qualquer (u,v) existe uma preimagem; A é sobrejetiva. Força aí — você acabou de ver duas maneiras claras e curtas de provar surjetividade (determinante/inversa e solução direta do sistema).

Resposta

A é sobrejetiva; \;A^{-1}(u,v)=\bigl(\tfrac{u+v}{2},\tfrac{u-v}{2}\bigr).

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