Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas:
.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação
definida por
O que nos é pedido: mostrar que
é sobrejetiva (isto é, que para todo vetor alvo em
existe pelo menos um vetor de origem que é levado a ele por
).\n
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são e a fórmula explícita de
em coordenadas.
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são
Passo 2
Definição clara do objetivo (surjetividade): dizer que
é sobrejetiva significa provar que
Em palavras: dado qualquer par
como saída desejada, devemos encontrar um par
que produz exatamente
pela regra de
.
Passo 3
Representação matricial e ideia de método: escrevemos
com respeito à base canônica como multiplicação por uma matriz. A ação
corresponde à multiplicação
Denotando
, temos
. Uma razão prática para checar sobrejetividade é verificar se as colunas de
geram
(ou equivalentemente se
é invertível). Uma matriz invertível tem colunas linearmente independentes e, portanto, geram todo
, garantindo surjetividade.]
Passo 4
Cálculo do determinante de
para verificar invertibilidade:
Como
, a matriz
é invertível. Explicando o porquê: determinante diferente de zero implica que existe uma matriz
tal que
; assim, dado qualquer vetor
, tomar
produz
. Isso mostra que
(e portanto
) é sobrejetiva.
Passo 5
Construção explícita da inversa (útil para a prova e para a prova construtiva): a inversa de
é
Logo, para um alvo qualquer
temos a preimagem explícita
Isso mostra construtivamente que para todo
existe um
tal que
, ou seja,
é sobrejetiva.]
Passo 6
Solução direta do sistema (uma forma ainda mais elementar, sem falar de matrizes): escrever as equações obtidas de
Somando as duas equações obtemos
. Subtraindo a segunda da primeira obtemos
, portanto
. Como esses valores existem para quaisquer
, o sistema é sempre solucionável e
é sobrejetiva.]
Passo 7
Verificação final (checar que a preimagem encontrada funciona): com
e
,
Portanto
como desejado. Conclusão: para qualquer
existe uma preimagem;
é sobrejetiva. Força aí — você acabou de ver duas maneiras claras e curtas de provar surjetividade (determinante/inversa e solução direta do sistema).