Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Informações relevantes:
- O domínio é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
, isto é, . - O contradomínio (alvo) é
. - A regra de
é avaliar o polinômio no ponto .
O que o enunciado pede: mostrar queé sobrejetiva (isto é, provar que a imagem de é todo ).
Passo 2
Definição de sobrejetividade (explicando com calma): uma aplicação
é sobrejetiva se, para todo elemento
, existe pelo menos um
tal que
.
No nosso caso, precisamos mostrar: para todo existe um polinômio
tal que
No nosso caso, precisamos mostrar: para todo
Estratégia direta: tomar um
qualquer e construir explicitamente um polinômio
que satisfaça
.
Passo 3
Observação importante sobre o espaço
: ele contém todos os polinômios de grau até
. Em particular, contém todos os polinômios constantes (eles têm grau
, que é
).
Um polinômio constante tem a forma
Um polinômio constante tem a forma
onde
. Para esse polinômio, avaliar em
dá
Ou seja, avaliando polinômios constantes em
podemos obter qualquer número real
como imagem.
Passo 4
Agora a prova direta e explícita da sobrejetividade: seja
qualquer. Defina o polinômio
Note que
pois é de grau
. Então
Assim, para o
escolhido encontramos um
com
. Como
foi arbitrário, isso vale para todo
. Portanto a imagem de
é todo
, ou seja,
é sobrejetiva.
Passo 5
Observação extra (útil para a prova e para a sua intuição):
também é linear. Para
e
,
Ou seja,
é uma transformação linear sobrejetiva. Um comentário final de incentivo: você acabou de ver uma prova curta e elegante — usar polinômios constantes é uma ideia simples e poderosa que aparece muito em provas de avaliação em espaços de funções. Parabéns por seguir até aqui!