Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas:
B: \mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, B(p(x))=p(1).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear B:\mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R})\to\mathbb{R} definida por
B(p(x))=p(1).
Informações relevantes:
  • O domínio é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n, isto é, \mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}).
  • O contradomínio (alvo) é \mathbb{R}.
  • A regra de B é avaliar o polinômio no ponto x=1.
    O que o enunciado pede: mostrar que B é sobrejetiva (isto é, provar que a imagem de B é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Definição de sobrejetividade (explicando com calma): uma aplicação T:X\to Y é sobrejetiva se, para todo elemento y\in Y, existe pelo menos um x\in X tal que T(x)=y.
No nosso caso, precisamos mostrar: para todo y\in\mathbb{R} existe um polinômio p\in\mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}) tal que
B(p)=p(1)=y.
Estratégia direta: tomar um y qualquer e construir explicitamente um polinômio p que satisfaça p(1)=y.

Passo 3

Observação importante sobre o espaço \mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}): ele contém todos os polinômios de grau até n. Em particular, contém todos os polinômios constantes (eles têm grau 0, que é \leq n).
Um polinômio constante tem a forma
p(x)=c,
onde c\in\mathbb{R}. Para esse polinômio, avaliar em x=1
p(1)=c.
Ou seja, avaliando polinômios constantes em 1 podemos obter qualquer número real c como imagem.

Passo 4

Agora a prova direta e explícita da sobrejetividade: seja y\in\mathbb{R} qualquer. Defina o polinômio
p(x)=y \qquad\text{(polinômio constante).}ô
Note que p\in\mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}) pois é de grau 0\leq n. Então
B(p)=p(1)=y.
Assim, para o y escolhido encontramos um p com B(p)=y. Como y foi arbitrário, isso vale para todo y\in\mathbb{R}. Portanto a imagem de B é todo \mathbb{R}, ou seja, B é sobrejetiva.

Passo 5

Observação extra (útil para a prova e para a sua intuição): B também é linear. Para p,q\in\mathcal{P}_{n}[x](\mathbb{R}) e \alpha\in\mathbb{R},
B(p+q)=(p+q)(1)=p(1)+q(1)=B(p)+B(q),
B(\alpha p)=(\alpha p)(1)=\alpha p(1)=\alpha B(p).
Ou seja, B é uma transformação linear sobrejetiva. Um comentário final de incentivo: você acabou de ver uma prova curta e elegante — usar polinômios constantes é uma ideia simples e poderosa que aparece muito em provas de avaliação em espaços de funções. Parabéns por seguir até aqui!

Resposta

B é sobrejetiva.

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