Questão 4 Marque verdadeiro ou falso. Caso o item seja verdadeiro, prove, caso seja falso, apresente um contraexemplo.
Existe matriz diagonal que não é invertível.
Passo 1
O enunciado pede para marcar verdadeiro ou falso à afirmação: “Existe matriz diagonal que não é invertível.”
Informações dadas (explicitadas):
A afirmação fala sobre matrizes diagonais.
O pedido é decidir se existe pelo menos uma matriz diagonal que não seja invertível; se for verdadeira, devo provar; se for falsa, devo dar um contraexemplo.
Passo 2
Vou explicar o que é uma matriz diagonal e o que significa ser invertível (sem assumir que já sabe tudo).
Definição de matriz diagonal: uma matriz n\times n é diagonal quando todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Escrevemos uma matriz diagonal como
Definição de invertível: uma matriz A é invertível se existe outra matriz B da mesma ordem tal que
AB = BA = I,
onde I é a matriz identidade. Uma consequência útil (teorema padrão) é: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.]
Passo 3
Apresento um exemplo concreto (isso já mostra que a afirmação é verdadeira se o exemplo for de fato uma matriz diagonal não invertível):
Considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Essa matriz é diagonal porque os únicos elementos fora da diagonal são zeros.
Vamos mostrar que A não é invertível. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é ad-bc. No nosso caso a=1, d=0, b=c=0, então
\det(A)=1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0.
Como o determinante é 0, pela propriedade citada, A não é invertível. Portanto existe (ao menos) uma matriz diagonal que não é invertível.]
Passo 4
Agora faço uma prova geral (para aprender a aplicar isso na prova): caracterização de quando uma matriz diagonal é invertível.
Proposição: para D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) vale
\det(D)=d_1 d_2\cdots d_n.
Justificativa curta: determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal; uma matriz diagonal é um caso especial (tanto superior quanto inferior), logo a fórmula vale.
Consequência imediata: D é invertível se, e somente se, d_1 d_2\cdots d_n \neq 0, isto é, se e somente se nenhum d_j for igual a zero.
Outra forma intuitiva e útil sem usar determinante: se algum d_j=0, então
D e_j = 0,
onde e_j é o vetor canônico que tem 1 na posição j e zeros nas outras. Isso mostra que D tem núcleo (kernel) não trivial: existe vetor não nulo que é enviado para o vetor zero, logo a transformação linear associada a D não é injetora. Matrizes invertíveis correspondem a transformações injetoras/sobrejetoras, então D não é invertível. Ambas as vias (determinante ou argumento do núcleo) dão a mesma conclusão.
Passo 5
Resumo prático para a prova: para construir uma matriz diagonal não invertível basta escolher qualquer diagonal com pelo menos um zero. Exemplo mínimo: \operatorname{diag}(1,0). Em geral, se existe j com d_j=0, então a matriz diagonal não é invertível; se todos os d_j são não nulos, a matriz é invertível e sua inversa é \operatorname{diag}(d_1^{-1},\dots,d_n^{-1}).