Questão 1 Considere as matrizes
A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 0 & 0 & 0 \\\ a & -1 & 0 & 0 \\\ b & c & 3 & 0 \\\ d & e & f & 5 \end{array}\right) \text { e } B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 4 & 7 & 0 \\\\ 2 & 5 & 9 & 0 \end{array}\right)
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Encontre o posto e a nulidade de B.
(c) As matrizes A e B podem ser linhas equivalentes? Justifique.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Matriz A:
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\\ a & -1 & 0 & 0 \\\ b & c & 3 & 0 \\\ d & e & f & 5 \end{pmatrix}
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 4 & 7 & 0 \\\\ 2 & 5 & 9 & 0 \end{pmatrix}
O enunciado pede:
(a) Calcular o determinante de A.
(b) Encontrar o posto (rank) e a nulidade (nullity) de B.
(c) Dizer se A e B podem ser equivalentes por linhas (row-equivalent) e justificar.
Informações relevantes que já vejo:
  • Na matriz A todos os elementos acima da diagonal principal são zeros, ou seja, A é uma matriz triangular inferior — isso costuma simplificar o cálculo do determinante.
  • Na matriz B a última coluna é toda zero: isso já indica que \operatorname{rank}(B)\le 3 e que existe um vetor não nulo (por exemplo e_4) no núcleo de B.

Passo 2

(a) Determinante de A.
Primeiro, um lembrete/explicação didática: uma matriz quadrada triangular (superior ou inferior) tem a propriedade
\det(\text{matriz triangular})=\prod_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} são as entradas da diagonal principal. A razão intuitiva é que operações de expansão por linhas/colunas ou redução preservam essa forma e o produto das diagonais aparece naturalmente; é uma propriedade padrão de determinantes. Aqui A é triangular inferior (zeros acima da diagonal), logo podemos aplicar a propriedade.
As entradas da diagonal de A são 4, -1, 3 e 5. Portanto
\det(A)=4\cdot(-1)\cdot 3\cdot 5.
Agora faço a multiplicação passo a passo (sem pular etapas):
4\cdot(-1) = -4,
-4\cdot 3 = -12,
-12\cdot 5 = -60.
Logo \det(A)=-60.

Passo 3

(b) Análise inicial de B.
Observação importante: a quarta coluna de B é a coluna zero. Isso implica duas coisas imediatas:
  • \operatorname{rank}(B)\le 3, porque a dimensão do espaço gerado pelas colunas não pode exceder o número de colunas não nulas.
  • O vetor \mathbf{e}_4=(0,0,0,1)^T satisfaz B\mathbf{e}_4=\mathbf{0}, então o núcleo de B não é trivial; já sabemos que a nulidade é pelo menos 1.
Para determinar exatamente o posto e a nulidade preciso fazer redução por linhas (row reduction) para contar pivôs.

Passo 4

Redução por linhas de B (mostrando operações e resultados).
Começo com
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ -2 & 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 4 & 7 & 0 \\\\ 2 & 5 & 9 & 0 \end{pmatrix}.
Faço operações inteiras para obter zeros na coluna 1 abaixo do pivô 1 da primeira linha:
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1:
R_2 = (-2,0,-1,0) + 2(1,1,2,0) = (0,2,3,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3 = (1,4,7,0) - (1,1,2,0) = (0,3,5,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1:
R_4 = (2,5,9,0) - 2(1,1,2,0) = (0,3,5,0).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 3 & 5 & 0 \\\\ 0 & 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Continuo a eliminação para a submatriz das colunas 2 e 3.
Quero eliminar a entrada da linha 3, coluna 2 usando a linha 2. Em vez de frações diretas faço uma combinação inteira:
considere 2\cdot R_3 - 3\cdot R_2:
2\cdot(0,3,5,0) - 3\cdot(0,2,3,0) = (0,6,10,0)-(0,6,9,0)=(0,0,1,0).
Assim posso substituir R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_2, ficando
R_3=(0,0,1,0).
A linha R_4 era igual a R_3 antes da operação, então com a mesma combinação R_4 ficará igual a R_3 também; após eliminar duplicatas teremos uma linha zero.
Agora a matriz tem a forma (após reordenação mental das operações):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora transformo em forma escalonada reduzida simplificando pivôs:
  • R_3 já tem pivô 1 em coluna 3.
  • Substituo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3 = (0,2,3,0) - 3(0,0,1,0) = (0,2,0,0).
  • Substituo R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3 = (1,1,2,0) - 2(0,0,1,0) = (1,1,0,0).
  • Divido R_2 por 2: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2 = (0,1,0,0).
  • Substituo R_1 \leftarrow R_1 - R_2 = (1,1,0,0) - (0,1,0,0) = (1,0,0,0).
No final obtemos a forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Interpretação da redução: pivôs e conclusão sobre posto e nulidade.
  • O número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) é \,3. Portanto \operatorname{rank}(B)=3.
    Explicação didática: o posto é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (ou colunas) e conta-se pelos pivôs na forma escalonada reduzida.
  • Pelo Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity) para uma matriz m\times n vale
\operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=4, então
\operatorname{nullity}(B)=4-\operatorname{rank}(B)=4-3=1.
  • Resolvendo explicitamente B\mathbf{x}=\mathbf{0} a redução mostrou que x_1=0,\;x_2=0,\;x_3=0 e x_4 livre. Logo o núcleo é
\ker(B)=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\},
confirmando nulidade 1.

Passo 7

(c) As matrizes A e B podem ser equivalentes por linhas?
Explicação didática: duas matrizes são equivalentes por linhas (row-equivalent) se é possível obter uma a partir da outra por operações elementares de linha. Essas operações preservam o posto da matriz. Portanto um critério rápido: duas matrizes só podem ser row-equivalent se tiverem o mesmo posto.
Aqui já encontramos:
\operatorname{rank}(A)=4 \quad\text{(porque \(\det(A)=-60\neq 0\), então \(A\) é invertível e tem posto \(4\))},ãéí
\operatorname{rank}(B)=3.
Como os postos são diferentes ( 4\neq 3), não existe sequência de operações elementares de linha que transforme A em B. Logo não são equivalentes por linhas.

Resposta

(a) \det(A)=-60
(b) \operatorname{rank}(B)=3,\\ \operatorname{nullity}(B)=1
(c) Não, pois \operatorname{rank}(A)=4\neq\operatorname{rank}(B)=3

Exercícios relacionados