O enunciado pede:
(a) Calcular o determinante de A.
(b) Encontrar o posto (rank) e a nulidade (nullity) de B.
(c) Dizer se A e B podem ser equivalentes por linhas (row-equivalent) e justificar.
Informações relevantes que já vejo:
Na matriz A todos os elementos acima da diagonal principal são zeros, ou seja, A é uma matriz triangular inferior — isso costuma simplificar o cálculo do determinante.
Na matriz B a última coluna é toda zero: isso já indica que \operatorname{rank}(B)\le 3 e que existe um vetor não nulo (por exemplo e_4) no núcleo de B.
Passo 2
(a) Determinante de A.
Primeiro, um lembrete/explicação didática: uma matriz quadrada triangular (superior ou inferior) tem a propriedade
onde a_{ii} são as entradas da diagonal principal. A razão intuitiva é que operações de expansão por linhas/colunas ou redução preservam essa forma e o produto das diagonais aparece naturalmente; é uma propriedade padrão de determinantes. Aqui A é triangular inferior (zeros acima da diagonal), logo podemos aplicar a propriedade.
As entradas da diagonal de A são 4, -1, 3 e 5. Portanto
\det(A)=4\cdot(-1)\cdot 3\cdot 5.
Agora faço a multiplicação passo a passo (sem pular etapas):
4\cdot(-1) = -4,
-4\cdot 3 = -12,
-12\cdot 5 = -60.
Logo \det(A)=-60.
Passo 3
(b) Análise inicial de B.
Observação importante: a quarta coluna de B é a coluna zero. Isso implica duas coisas imediatas:
\operatorname{rank}(B)\le 3, porque a dimensão do espaço gerado pelas colunas não pode exceder o número de colunas não nulas.
O vetor \mathbf{e}_4=(0,0,0,1)^T satisfaz B\mathbf{e}_4=\mathbf{0}, então o núcleo de B não é trivial; já sabemos que a nulidade é pelo menos 1.
Para determinar exatamente o posto e a nulidade preciso fazer redução por linhas (row reduction) para contar pivôs.
Passo 4
Redução por linhas de B (mostrando operações e resultados).
Continuo a eliminação para a submatriz das colunas 2 e 3.
Quero eliminar a entrada da linha 3, coluna 2 usando a linha 2. Em vez de frações diretas faço uma combinação inteira:
considere 2\cdot R_3 - 3\cdot R_2:
Assim posso substituir R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_2, ficando
R_3=(0,0,1,0).
A linha R_4 era igual a R_3 antes da operação, então com a mesma combinação R_4 ficará igual a R_3 também; após eliminar duplicatas teremos uma linha zero.
Agora a matriz tem a forma (após reordenação mental das operações):
Interpretação da redução: pivôs e conclusão sobre posto e nulidade.
O número de linhas não nulas (ou o número de pivôs) é \,3. Portanto \operatorname{rank}(B)=3.
Explicação didática: o posto é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (ou colunas) e conta-se pelos pivôs na forma escalonada reduzida.
Pelo Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity) para uma matriz m\times n vale
Resolvendo explicitamente B\mathbf{x}=\mathbf{0} a redução mostrou que x_1=0,\;x_2=0,\;x_3=0 e x_4 livre. Logo o núcleo é
\ker(B)=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\},
confirmando nulidade 1.
Passo 7
(c) As matrizes A e B podem ser equivalentes por linhas?
Explicação didática: duas matrizes são equivalentes por linhas (row-equivalent) se é possível obter uma a partir da outra por operações elementares de linha. Essas operações preservam o posto da matriz. Portanto um critério rápido: duas matrizes só podem ser row-equivalent se tiverem o mesmo posto.
Aqui já encontramos:
\operatorname{rank}(A)=4 \quad\text{(porque \(\det(A)=-60\neq 0\), então \(A\) é invertível e tem posto \(4\))},ãéí
\operatorname{rank}(B)=3.
Como os postos são diferentes (4\neq 3), não existe sequência de operações elementares de linha que transforme A em B. Logo não são equivalentes por linhas.