Questāo 2 Encontre a inversa da matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 4 \\[4pt] 5 & 6 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas e objetivo:
  • A matriz A é 3\times3.
  • Objetivo: calcular A^{-1}, a matriz tal que A\,A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Método escolhido e ideia principal (explicação didática curta e amigável).
  • Vou usar o método de Gauss–Jordan (eliminação por linhas) aplicando operações elementares sobre linhas na matriz aumentada [A\mid I].
  • Por que esse método? Porque é direto para matrizes pequenas e permite obter A^{-1} de forma algébrica sem determinantes complexos.
  • O procedimento é: formar [A\mid I], aplicar operações do tipo R_i\leftarrow R_i + c\,R_j (somar múltiplos de uma linha a outra), até transformar a parte esquerda em I. Quando isso acontecer, a parte direita será A^{-1}.
  • Notação: R_i é a linha i. Por exemplo R_3\leftarrow R_3-5R_1 significa substituir a linha 3 por ela menos 5 vezes a linha 1.

Passo 3

Formar a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Eliminar o elemento 5 em posição (3,1) usando R_3\leftarrow R_3-5R_1.
Cálculo dos elementos da nova R_3:
  • Parte esquerda: [5,6,0]-5\cdot[1,2,3]=[5-5,\,6-10,\,0-15]=[0,\,-4,\,-15].
  • Parte direita: [0,0,1]-5\cdot[1,0,0]=[0-5,\,0-0,\,1-0]=[-5,\,0,\,1].
Matriz aumentada resultante:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Eliminar os elementos não nulos na coluna 2 acima e abaixo do pivô 1 em (2,2).
  • Primeiro: R_1\leftarrow R_1-2R_2.
    • Parte esquerda: [1,2,3]-2\cdot[0,1,4]=[1,\,0,\,3-8]=[1,0,-5].
    • Parte direita: [1,0,0]-2\cdot[0,1,0]=[1,\, -2,\,0].
  • Segundo: R_3\leftarrow R_3+4R_2.
    • Parte esquerda: [0,-4,-15]+4\cdot[0,1,4]=[0,\,0,\, -15+16]=[0,0,1].
    • Parte direita: [-5,0,1]+4\cdot[0,1,0]=[-5,\,4,\,1].
Matriz aumentada após essas duas operações:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora o pivô na linha 3, coluna 3 é 1. Eliminar os elementos acima desse pivô:
  • R_1\leftarrow R_1+5R_3.
    • Parte esquerda: [1,0,-5]+5\cdot[0,0,1]=[1,0,0].
    • Parte direita: [1,-2,0]+5\cdot[-5,4,1]=[1-25,\, -2+20,\, 0+5]=[-24,\,18,\,5].
  • R_2\leftarrow R_2-4R_3.
    • Parte esquerda: [0,1,4]-4\cdot[0,0,1]=[0,1,0].
    • Parte direita: [0,1,0]-4\cdot[-5,4,1]=[0+20,\,1-16,\,0-4]=[20,\,-15,\,-4].
Matriz aumentada final:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Interpretação do resultado.
  • A parte esquerda ficou exatamente a identidade I_3, portanto a parte direita é A^{-1}.
  • Conclui-se que
A^{-1}=\begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\[4pt] 20 & -15 & -4 \\[4pt] -5 & 4 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (é uma boa prática para confiança):
  • Multiplicando A por essa matriz encontra-se I_3. Por exemplo, a primeira entrada do produto é
1\cdot(-24)+2\cdot20+3\cdot(-5)=-24+40-15=1,
e operações semelhantes para as outras entradas retornam os elementos da identidade. Logo a inversa está correta.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-24 & 18 & 5 \\[4pt] 20 & -15 & -4 \\[4pt] -5 & 4 & 1\end{pmatrix}]

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