Questão 3: Uma massa desconhecida m é conectada a uma mola desconhecida com rigidez k. Quando uma massa m1=0,5 kg é adicionada à m, a frequência natural do sistema é reduzida de 50 Hz para 49 Hz . A) Determine os valores de m e k. B) Quando uma segunda mola k^prime é adicionada em paralelo à primeira mola, a frequência natural retorna a 50 Hz . Determine o valor de k^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola onde temos uma massa desconhecida $ m $ ligada a uma mola com rigidez desconhecida $ k $. Quando adicionamos uma massa extra $ m_1 = 0,5 , kg $, a frequência natural do sistema diminui de 50 Hz para 49 Hz. A gente precisa descobrir os valores de $ m $ e $ k $. Depois, na parte B, quando adicionamos uma segunda mola $ k’ $ em paralelo, a frequência volta para 50 Hz, e aí temos que achar esse $ k’ $. Vamos usar conceitos de física sobre sistemas massa-mola e frequências naturais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a frequência natural de um sistema massa-mola. A fórmula é:
f = 12pi raizkm
Aqui, $ f $ é a frequência, $ k $ é a rigidez da mola e $ m $ é a massa. Essa fórmula nos diz que a frequência depende da rigidez da mola e inversamente da massa.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o sistema sem a massa adicional. Temos que a frequência $ f = 50 , Hz $, então:
f = 50 , Hz
Podemos rearranjar essa equação para relacionar $ k $ e $ m $:
50 = 12pi raizkm

Passo 4

Agora, quando adicionamos a massa extra $ m_1 = 0,5 , kg $, a nova massa total fica $ m + m_1 $, e a frequência passa para 49 Hz. Vamos usar a mesma fórmula:
m1 = 0,5 , kg
E rearranjando:
m + m1

Passo 5

Agora temos duas expressões para $ k $:
  1. $ k = (2\pi \times 50)^2 \times m $
  2. $ k = (2\pi \times 49)^2 \times (m + 0,5) $
Como os dois lados são iguais a $ k $, podemos igualar as duas expressões:
k

Passo 6

Simplificando os termos $ (2\pi)^2 $ que aparecem dos dois lados:
(2pi)^2
Calculando os valores:
50^2 times m = 49^2 times (m + 0,5)

Passo 7

Expandindo o lado direito da equação:
2500m = 2401m + 2401 times 0,5
2500m = 2401m + 1200,5

Passo 8

Agora, isolamos $ m $:
m
2500m - 2401m = 1200,5
99m = 1200,5

Passo 9

Com o valor de $ m $, podemos encontrar $ k $ usando uma das equações anteriores. Vamos usar:
m
Calculando:
k
k = (2pi times 50)^2 times m

Resposta

A massa desconhecida $ m $ é aproximadamente 12,13 kg e a rigidez da mola $ k $ é cerca de 1.196.000 N/m.

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