Questão 3: Uma massa desconhecida
é conectada a uma mola desconhecida com rigidez
. Quando uma massa
é adicionada à
, a frequência natural do sistema é reduzida de 50 Hz para 49 Hz . A) Determine os valores de
e
. B) Quando uma segunda mola
é adicionada em paralelo à primeira mola, a frequência natural retorna a 50 Hz . Determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola onde temos uma massa desconhecida $ m $ ligada a uma mola com rigidez desconhecida $ k $. Quando adicionamos uma massa extra $ m_1 = 0,5 , kg $, a frequência natural do sistema diminui de 50 Hz para 49 Hz. A gente precisa descobrir os valores de $ m $ e $ k $. Depois, na parte B, quando adicionamos uma segunda mola $ k’ $ em paralelo, a frequência volta para 50 Hz, e aí temos que achar esse $ k’ $. Vamos usar conceitos de física sobre sistemas massa-mola e frequências naturais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a frequência natural de um sistema massa-mola. A fórmula é:
Aqui, $ f $ é a frequência, $ k $ é a rigidez da mola e $ m $ é a massa. Essa fórmula nos diz que a frequência depende da rigidez da mola e inversamente da massa.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para o sistema sem a massa adicional. Temos que a frequência $ f = 50 , Hz $, então:
Podemos rearranjar essa equação para relacionar $ k $ e $ m $:
Passo 4
Agora, quando adicionamos a massa extra $ m_1 = 0,5 , kg $, a nova massa total fica $ m + m_1 $, e a frequência passa para 49 Hz. Vamos usar a mesma fórmula:
E rearranjando:
Passo 5
Agora temos duas expressões para $ k $:
- $ k = (2\pi \times 50)^2 \times m $
- $ k = (2\pi \times 49)^2 \times (m + 0,5) $
Como os dois lados são iguais a $ k $, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Simplificando os termos $ (2\pi)^2 $ que aparecem dos dois lados:
Calculando os valores:
Passo 7
Expandindo o lado direito da equação:
Passo 8
Agora, isolamos $ m $:
Passo 9
Com o valor de $ m $, podemos encontrar $ k $ usando uma das equações anteriores. Vamos usar:
Calculando:
Resposta
A massa desconhecida $ m $ é aproximadamente 12,13 kg e a rigidez da mola $ k $ é cerca de 1.196.000 N/m.