Encontre o mínimo de f(x, y, z)=x+y+z na superfície de equação x y z=k, onde x>0, y>0 e z>0. Use o resultado para mostrar que
raiz[3]x y z <= 13(x+y+z), x>0, y>0, z>0

Passo 1

O problema é minimizar f(x,y,z)=x+y+z sob a restrição x y z = k com x,y,z>0, usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=x+y+z-lambdal(xyz-kr)
Então impomos as condições de otimalidade:
partial Lpartial x=1-lambda y z=0, partial Lpartial y=1-lambda x z=0, partial Lpartial z=1-lambda x y=0, partial Lpartial lambda=-(xyz-k)=0
Das três primeiras vem
lambda yz=lambda xz=lambda xy=1, o que implica x=y=z.

Passo 3

Da restrição x y z=k com x=y=z=t segue t^3=k e t=raiz[3]k. Logo o mínimo de f é
fmin=3t=3raiz[3]k
Isso mostra que, para qualquer tupla (x,y,z) com produto fixo k, vale
x+y+z>=3raiz[3]k

Passo 4

Bastando tomar k=xyz na desigualdade acima, obtemos
x+y+z>=3raiz[3]xyzLongrightarrowraiz[3]xyz<=x+y+z3

Resposta

raiz[3]x y z<=13(x+y+z)

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