Questão 1

Uma massa m=0,5 kg está presa a uma das extremidades de uma mola, cuja constante elástica é k=100 N / m, e a outra extremidade é mantida fixa.
( 1,0 ponto) a. determine a frequência angular e o periodo das oscilaçōes desta massa;
( 1,0 ponto) b. se a posiçāo inicial for x0=0 m e a velocidade inicial for x0=50 m / s, descreva a posiçāo em função do tempo deste oscilador.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico simples formado por uma massa m=0,5 kg presa a uma mola de constante elástica k=100 N/m. No item (a) vamos calcular a frequência angular omega e o período T. No item (b) escreveremos a solução geral x(t) e aplicaremos as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=50 m/s para obter a forma explícita de x(t).

Passo 2

A frequência angular de um oscilador harmônico simples é dada por
omega = raizkm
Substituindo k=100 N/m e m=0,5 kg,
omega = raiz1000,5 = raiz200 = 10raiz2approx 14,14 rad/s

Passo 3

O período T de oscilação relaciona-se a omega por
T = 2piomega
Logo,
T = 2pi10raiz2 = pi5raiz2approx 0,444 s

Passo 4

A solução geral da posição no oscilador harmônico simples é
x(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t)

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
x(0)=A=0,
v(t)=dxdt=-A,omegasin(omega t)+B,omegacos(omega t),
então
v(0)=B,omega = v0 = 50 m/sLongrightarrow B = 50omega

Passo 6

Substituindo omega=10raiz2 e B=50/(10raiz2)=5/(raiz2)=5raiz2/2, obtemos
x(t) = 5010raiz2sinl(10raiz2,tr) = 5raiz22,sinl(10raiz2,tr) m

Resposta

(a) omega = 10raiz2approx14,14 rad/s e T = dfrac2pi10raiz2approx0,444 s.
(b) x(t)=5raiz22,sinl(10raiz2,tr) m.

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