Questão 2. ( 2.0 pt ). Sejam a, b, c e d quatro vetores de módulos iguais a k que formam um quadrado de resultante nula. Mostre que se trocarmos os sentidos de dois deles, alternadamente, a resultante terá módulo igual a zero.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro vetores vec a,vec b,vec c,vec d, todos de mesmo módulo k, dispostos de modo que formam um quadrado (ou seja, em sequência fechada) e portanto
vec a + vec b + vec c + vec d = vec 0
Queremos mostrar que, se invertermos o sentido de dois vetores alternados (isto é, vec a e vec c, ou vec b e vec d), a soma continua sendo o vetor nulo, logo sua magnitude é zero.

Passo 2

Considere primeiro inverter os sentidos de vec a e vec c. A nova soma é
vec R1 = (-vec a) + vec b + (-vec c) + vec d =;-l(vec a + vec cr);+;(vec b + vec d)
Mas, da soma original vec a+vec b+vec c+vec d=vec0, obtemos
vec a + vec c = -(vec b + vec d)
Logo
vec R1 = -l[-(vec b + vec d)r] + (vec b + vec d) = (vec b + vec d) + (vec b + vec d) = 2(vec b + vec d)
Como no quadrado vec b e vec d são lados opostos, vec b+vec d=vec0. Portanto
vec R1 = 2cdotvec0 = vec0

Passo 3

Agora invertemos os sentidos de vec b e vec d. A soma fica
vec R2 = vec a + (-vec b) + vec c + (-vec d) =;(vec a + vec c);-;(vec b + vec d)
Sabendo que vec a+vec b+vec c+vec d=vec0 implica vec a+vec c = -(vec b+vec d), segue
vec R2 = -(vec b + vec d) - (vec b + vec d) = -2(vec b + vec d)
E de novo vec b+vec d=vec0, logo
vec R2 = -2cdotvec0 = vec0

Resposta

Em ambos os casos a resultante é o vetor nulo, portanto seu módulo é zero.

Exercícios relacionados