Questão 4. Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a
. A massa é solta 3 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de
para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência (em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea (
). Encontre uma fórmula para a posição (em função do tempo) se a massa sofre a ação de uma força externa igual a
(em N , para baixo, com
em
).
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Massa:
. - Constante da mola:
. - A massa é solta
abaixo da posição de equilíbrio com velocidade para baixo. Tomando a direção para baixo como positiva (já que a força externa é dada para baixo), isso significa: -
(posição, em metros, medida a partir do equilíbrio, para baixo é positivo). -
(velocidade inicial, em , positiva para baixo).
-
- Força de resistência do meio: numericamente igual ao dobro da velocidade. A resistência atua oposta ao movimento, então o termo será
com . - Força externa (para baixo):
(em N). - Pedido: encontrar uma fórmula para a posição
(em função do tempo, ).
Passo 2
Modelagem pelo Segunda Lei de Newton. Somando forças (sinal positivo para baixo):
- Força da mola: apontando para cima, é
. - Força de resistência:
com . - Força externa:
(positiva para baixo conforme dado).
A equação de movimento é
Substituindo
,
,
e escrevendo explicitamente
,
Passo 3
Estratégia de solução: resolver a equação linear não-homogênea com coeficientes constantes. Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada, depois uma solução particular da parte forçada, e por fim aplicamos as condições iniciais.
A equação homogênea é
Passo 4
Resolver a homogênea por equação característica. A equação característica é
Calculando as raízes:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é (forma padrão para raízes
):
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui
(decaimento exponencial) e
(frequência angular das oscilações).
Passo 5
Encontrar uma solução particular [y_p(t)) para a forçante
.
Método: coeficientes indeterminados. Como a forçante é combinação de
e
, usamos o ansatz
com constantes
a determinar. (Observação didática: isso é aceitável porque funções
e
não são soluções puras da homogênea — a homogênea tem
e
, com fator
— então não precisamos multiplicar por
.)
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação
:
Agrupando coeficientes de
e
:
que simplifica para
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes obtém-se o sistema linear:
Resolver: da primeira
.
Portanto a solução particular é
Passo 6
Solução geral da equação não-homogênea:
Agora aplicamos as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Primeiro
:
Como
, obtemos
.
Agora precisamos de
. Derivando
:
Derivada do termo homogêneo:
(Explicação breve: usa-se produto e as derivadas
,
.)
Derivada do termo particular
é
Somando,
Avaliar em
:
Como
, segue
Substituindo
:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a fórmula final para a posição:
Interpretação curta (didática): a solução é soma de um termo transitório
que decai com o tempo devido ao amortecimento, e de um termo forçado
que representa o regime forçado permanente na frequência da excitação.