Questão 4. Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é solta 3 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para baixo. O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência (em N ) numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ). Encontre uma fórmula para a posição (em função do tempo) se a massa sofre a ação de uma força externa igual a F(t)=12 \cos (2 t)+3 \sin (2 t) (em N , para baixo, com t em s ).

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=5\\ \mathrm{N/m}.
  • A massa é solta 3\\ \mathrm{m} abaixo da posição de equilíbrio com velocidade 4\\ \mathrm{m/s} para baixo. Tomando a direção para baixo como positiva (já que a força externa é dada para baixo), isso significa:
    • y(0)=3 (posição, em metros, medida a partir do equilíbrio, para baixo é positivo).
    • y'(0)=4 (velocidade inicial, em \mathrm{m/s}, positiva para baixo).
  • Força de resistência do meio: numericamente igual ao dobro da velocidade. A resistência atua oposta ao movimento, então o termo será -c\,y' com c=2.
  • Força externa (para baixo): F(t)=12\cos(2t)+3\sin(2t) (em N).
  • Pedido: encontrar uma fórmula para a posição y(t) (em função do tempo, t\ge0).

Passo 2

Modelagem pelo Segunda Lei de Newton. Somando forças (sinal positivo para baixo):
  • Força da mola: apontando para cima, é -k y.
  • Força de resistência: -c y' com c=2.
  • Força externa: F(t) (positiva para baixo conforme dado).
A equação de movimento é
m\,y'' = -k y - c y' + F(t).
Substituindo m=1, k=5, c=2 e escrevendo explicitamente F(t),
y'' + 2y' + 5y = 12\cos(2t) + 3\sin(2t).

Passo 3

Estratégia de solução: resolver a equação linear não-homogênea com coeficientes constantes. Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada, depois uma solução particular da parte forçada, e por fim aplicamos as condições iniciais.
A equação homogênea é
y'' + 2y' + 5y = 0.

Passo 4

Resolver a homogênea por equação característica. A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0.
Calculando as raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm 2i, a solução geral da homogênea é (forma padrão para raízes \alpha\pm i\beta):
y_h(t) = e^{-t}\big(A\cos(2t) + B\sin(2t)\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui \alpha=-1 (decaimento exponencial) e \beta=2 (frequência angular das oscilações).

Passo 5

Encontrar uma solução particular [y_p(t)) para a forçante 12\cos(2t)+3\sin(2t).
Método: coeficientes indeterminados. Como a forçante é combinação de \cos(2t) e \sin(2t), usamos o ansatz
y_p(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t),
com constantes a,b a determinar. (Observação didática: isso é aceitável porque funções \cos(2t) e \sin(2t) não são soluções puras da homogênea — a homogênea tem e^{-t}\cos(2t) e e^{-t}\sin(2t), com fator e^{-t} — então não precisamos multiplicar por t.)
Calcule as derivadas:
y_p' = -2a\sin(2t) + 2b\cos(2t),
y_p'' = -4a\cos(2t) -4b\sin(2t).
Substituindo na equação y''+2y'+5y:
y_p'' + 2y_p' + 5y_p = (-4a\cos2t -4b\sin2t) + (-4a\sin2t +4b\cos2t) + (5a\cos2t +5b\sin2t).
Agrupando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
\big((-4a+4b+5a)\big)\cos(2t) + \big((-4b-4a+5b)\big)\sin(2t)
que simplifica para
(a+4b)\cos(2t) + (-4a+b)\sin(2t).
Queremos isso igual a 12\cos(2t)+3\sin(2t). Igualando coeficientes obtém-se o sistema linear:
\begin{cases} a + 4b = 12,\\[4pt] -4a + b = 3. \end{cases}
Resolver: da primeira a=12-4b\]. Substituindo na segunda: \[-4(12-4b)+b=3 \;\Rightarrow\; -48+16b+b=3 \;\Rightarrow\; 17b=51 \;\Rightarrow\; b=3.\] Então \(a=12-4\cdot3=0.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=0\cdot\cos(2t)+3\sin(2t)=3\sin(2t).]

Passo 6

Solução geral da equação não-homogênea:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}\big(A\cos(2t)+B\sin(2t)\big)+3\sin(2t).
Agora aplicamos as condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=4 para determinar A e B.
Primeiro y(0):
y(0)=e^{0}\big(A\cos0+B\sin0\big)+3\sin0 = A + 0 + 0 = A.
Como y(0)=3, obtemos A=3.
Agora precisamos de y'(t). Derivando y(t):
Derivada do termo homogêneo:
\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(A\cos2t + B\sin2t)\big] = e^{-t}\big((-A+2B)\cos2t + (-B-2A)\sin2t\big).
(Explicação breve: usa-se produto e as derivadas \frac{d}{dt}\cos2t=-2\sin2t, \frac{d}{dt}\sin2t=2\cos2t.)
Derivada do termo particular 3\sin2t é
\frac{d}{dt}(3\sin2t)=6\cos2t.
Somando,
y'(t)=e^{-t}\big((-A+2B)\cos2t + (-B-2A)\sin2t\big) + 6\cos2t.
Avaliar em t=0:
y'(0)=(-A+2B) + 6.
Como y'(0)=4, segue
- A + 2B + 6 = 4 \quad\Rightarrow\quad -A + 2B = -2.
Substituindo A=3:
-3 + 2B = -2 \quad\Rightarrow\quad 2B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Substituindo A=3 e B=\tfrac{1}{2} na solução geral, obtemos a fórmula final para a posição:
y(t)=e^{-t}\!\left(3\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right)+3\sin(2t).
Interpretação curta (didática): a solução é soma de um termo transitório e^{-t}(\cdots) que decai com o tempo devido ao amortecimento, e de um termo forçado 3\sin(2t) que representa o regime forçado permanente na frequência da excitação.

Resposta

y(t)=e^{-t}\!\left(3\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right)+3\sin(2t).

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