Questão 3.
Uma EDO não linear da forma
, onde
é chamada de equação de Bernoulli. Para encontrarmos soluções não triviais desta equação fazemos a mudança de variável
, que transforma a equação inicial na edo linear
Resolvendo a segunda edo e desfazendo a mudança de variável, obtemos soluções da edo inicial. Resolva a equação de Bernoulli:
-
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para determinar as soluções (a resolução completa da EDO). Informações dadas:
- A incógnita é
. - A derivada é
. - O domínio indicado é
.
O objetivo é encontrar a expressão geral deque satisfaça a equação (além da solução trivial, se existir).
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão para aplicar a transformação de Bernoulli. Como
, podemos dividir ambos os lados por
sem problemas:
Aqui identificamos os coeficientes da forma típica
:
Passo 3
Aplicar a mudança de variável indicada para a equação de Bernoulli. Para
usamos
Agora calculamos
em termos de
e
. Derivando
obtemos
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituir
e
na equação padrão para obter uma EDO linear em
. Partindo de
substituindo
e dividindo ambos os lados por
(aqui estamos buscando soluções não triviais com
):
Multiplicando por
para pôr no formato padrão
:
Passo 5
Resolver a EDO linear para
pelo método do fator integrante. A equação é
O coeficiente de
é
. O fator integrante é
valendo isso para
. Multiplicando a EDO por
temos
que é a mesma coisa que
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária de integração. Portanto
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, temos
Invertendo,
Devemos lembrar das restrições:
(do enunciado) e o denominador não pode ser zero, ou seja
. Além disso existe a solução trivial
que também satisfaz a equação original; a transformação
não a captura, então deve ser mencionada separadamente.