Questão 3.

Uma EDO não linear da forma y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{n}, onde n \neq 0,1 é chamada de equação de Bernoulli. Para encontrarmos soluções não triviais desta equação fazemos a mudança de variável u=y^{1-n}, que transforma a equação inicial na edo linear
u^{\prime}+(1-n) p(x) u=(1-n) q(x) .
Resolvendo a segunda edo e desfazendo a mudança de variável, obtemos soluções da edo inicial. Resolva a equação de Bernoulli:
  1. x y^{\prime}+y=x^{2} y^{2}, x>0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y^{\prime}+y=x^{2}y^{2},\qquad x>0,
e pede para determinar as soluções (a resolução completa da EDO). Informações dadas:
  • A incógnita é y=y(x).
  • A derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • O domínio indicado é x>0.
    O objetivo é encontrar a expressão geral de y(x) que satisfaça a equação (além da solução trivial, se existir).

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão para aplicar a transformação de Bernoulli. Como x>0, podemos dividir ambos os lados por x sem problemas:
y^{\prime}+\frac{1}{x}\,y = x\,y^{2}.
Aqui identificamos os coeficientes da forma típica y'+p(x)y=q(x)y^{n}:
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=x,\qquad n=2.

Passo 3

Aplicar a mudança de variável indicada para a equação de Bernoulli. Para n=2 usamos
u = y^{1-n} = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Agora calculamos u^{\prime} em termos de y e y^{\prime}. Derivando u=y^{-1} obtemos
u^{\prime} = -y^{-2}\,y^{\prime} = -\frac{y^{\prime}}{y^{2}}.
Isolando y^{\prime} obtemos
y^{\prime} = -y^{2}\,u^{\prime}.

Passo 4

Substituir y^{\prime} e y^{-1}=u na equação padrão para obter uma EDO linear em u. Partindo de
y^{\prime}+\frac{1}{x}y = x y^{2},
substituindo y^{\prime}=-y^{2}u^{\prime} e dividindo ambos os lados por y^{2} (aqui estamos buscando soluções não triviais com y\neq0):
- u^{\prime} + \frac{1}{x}\,u = x.
Multiplicando por -1 para pôr no formato padrão u^{\prime}+a(x)u=b(x):
u^{\prime}-\frac{1}{x}\,u = -x.

Passo 5

Resolver a EDO linear para u pelo método do fator integrante. A equação é
u^{\prime}-\frac{1}{x}\,u = -x.
O coeficiente de u é a(x)=-\dfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int a(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln x)=x^{-1},
valendo isso para x>0. Multiplicando a EDO por \mu(x)=x^{-1} temos
\frac{1}{x}u^{\prime}-\frac{1}{x^{2}}u = -1,
que é a mesma coisa que
\left(\frac{u}{x}\right)^{\prime} = -1.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\frac{u}{x} = -x + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Portanto
u = Cx - x^{2}.

Passo 6

Voltar à variável original y. Lembrando que u=\dfrac{1}{y}, temos
\frac{1}{y} = Cx - x^{2} = x(C - x).
Invertendo,
y(x)=\frac{1}{Cx - x^{2}}=\frac{1}{x(C-x)}.
Devemos lembrar das restrições: x>0 (do enunciado) e o denominador não pode ser zero, ou seja Cx - x^{2}\neq 0. Além disso existe a solução trivial y\equiv 0 que também satisfaz a equação original; a transformação u=1/y não a captura, então deve ser mencionada separadamente.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{Cx - x^{2}},\quad x>0,\\ C\in\mathbb{R},\\ Cx - x^{2}\neq0
y(x)\equiv 0

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