QUESTÃO 5 ( \mathbf{1 , 5} pt. Extra) - Sabe-se que uma linha de transmissão curta de 40 \mathrm{~km}(l) de comprimento atende uma carga de 381 MVA ( S_{R(3 \varphi)} ) a um fator de potência de 0,8 atrasado em uma tensão de 220 kV \left(V_{R(3 \varphi)}\right). Essa LT possui uma resistência (r) de 0,15 \Omega / k m e indutância (L) de 1,3263 \mathrm{mH} / \mathrm{km}. Encontre a tensão de entrada V_{s} da linha de transmissão. Considere a frequência da linha de 60 Hz e as equações abaixo.
Z=(r+i \omega L) l
V_{R}=\frac{V_{R(3 \varphi)}}{\sqrt{3}}
I_{R}=\frac{S_{R(3 \varphi)}^{*}}{3 V_{R}^{*}}
V_{S}=V_{R}+Z I_{R}

Passo 1

O enunciado descreve uma linha de transmissão curta de comprimento l = 40 km que alimenta uma carga de S_{R(3\varphi)} = 381 MVA a fator de potência 0,8 atrasado, em tensão de linha V_{R(3\varphi)} = 220 kV. A resistência por quilômetro é r = 0,15\\ \Omega/\mathrm{km} e a indutância por quilômetro é L = 1{,}3263\\ \mathrm{mH}/\mathrm{km}. Queremos encontrar a tensão de entrada V_S, usando as fórmulas
Z = (r + i\,\omega L)\,l,
V_R = \frac{V_{R(3\varphi)}}{\sqrt{3}},
I_R = \frac{S_{R(3\varphi)}^{*}}{3\,V_{R}^{*}},
V_S = V_R + Z\,I_R.

Passo 2

Calcular a impedância total da linha. Primeiro \omega = 2\pi\cdot 60 = 377 rad/s e
r + i\,\omega L = 0,15 + i\,(377 \cdot 1{,}3263\times10^{-3}) = 0,15 + i\,0,50\quad(\Omega/\mathrm{km}).
Multiplicando por l=40 km,
Z = (0,15 + i\,0,50)\cdot 40 = 6 + i\,20\quad\Omega.

Passo 3

Obter a tensão de fase na carga:
V_R = \frac{V_{R(3\varphi)}}{\sqrt{3}} = \frac{220\,\text{kV}}{1{,}732} \approx 127{,}0\\ \text{kV}\quad(\angle 0^\circ).

Passo 4

Calcular a corrente de fase I_R. O módulo de I_R é
|I_R| = \frac{|S_{R(3\varphi)}|/3}{V_R} = \frac{381\times10^6 / 3}{127{,}0\times10^3} \approx 1{,}00\times10^3\\ \text{A}.
O ângulo de carga é \cos^{-1}(0,8)=36{,}87^\circ (atrasado), então
I_R = 1000\\ \angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{A}.

Passo 5

Calcular a queda de tensão na linha Z\,I_R:
Z\,I_R = (6 + i\,20)\times (1000\angle -36{,}87^\circ) = 20{,}880\\ \angle 36{,}43^\circ\\ \text{kV} = 16{,}79 + i\,12{,}40\\ \text{kV}.

Passo 6

Somar a tensão de fase na carga com a queda de tensão para obter V_S por fase:
V_S = 127{,}02 + i\,0 + (16{,}79 + i\,12{,}40) = 143{,}81 + i\,12{,}40\\ \text{kV}.
O módulo é
|V_S| = \sqrt{143{,}81^2 + 12{,}40^2} \approx 144{,}3\\ \text{kV}.
Convertendo para tensão de linha:
V_{S(3\varphi)} = \sqrt{3}\,|V_S| \approx 1{,}732 \times 144{,}3 \approx 249{,}8\\ \text{kV}.

Resposta

A tensão de entrada da linha de transmissão é aproximadamente 250 kV.

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