QUESTÃO 2 ( \mathbf{2 , 5} pts.) - Reduza à forma polar e determine as formas polares de \mathbf{z}_{1} \mathbf{z}_{2} \mathrm{e} \frac{\mathbf{z}_{1}}{\mathbf{z}_{2}}. Represente os quatró números complexos em um único gráfico.
z_{1}=\frac{-3+i 3}{1+i \sqrt{3}}, z_{2}=\frac{1}{-1-i \sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede a forma polar de
z_{1}=\frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}} \quad\text{e}\quad z_{2}=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}},
além das formas polares de z_{1}z_{2} e de \frac{z_{1}}{z_{2}}.
Conteúdos usados: divisão de complexos em forma retangular, cálculo de módulo e argumento, e as fórmulas de multiplicação/divisão em forma polar.

Passo 2

Calcular z_{1} em retangular e depois converter para polar.
Multiplicamos numerador e denominador por 1-i\sqrt{3}:
z_{1} =\frac{(-3+3i)(1-i\sqrt{3})}{1+3} =\frac{(-3+3\sqrt{3})+i(3+3\sqrt{3})}{4} =\frac{3(-1+\sqrt{3})}{4}+i\,\frac{3(1+\sqrt{3})}{4}.
O módulo é
r_{1} =\sqrt{\bigl(\tfrac{3(-1+\sqrt{3})}{4}\bigr)^{2} +\bigl(\tfrac{3(1+\sqrt{3})}{4}\bigr)^{2}} =\frac{3\sqrt{2}}{2},
e o argumento
\varphi_{1} =\arctan\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\Bigr) =75^\circ=\frac{5\pi}{12}.
Logo
z_{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\cis\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{12}\Bigr).

Passo 3

Calcular z_{2} em retangular e depois converter para polar.
z_{2} =\frac{1}{-1-i\sqrt{3}} =\frac{-1+i\sqrt{3}}{1+3} =-\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{3}}{4}.
O módulo é
r_{2} =\sqrt{\bigl(-\tfrac14\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}4\bigr)^{2}} =\frac12,
e o argumento, no segundo quadrante, é
\varphi_{2} =\pi-\arctan\!\bigl(\sqrt{3}\bigr) = \pi-\frac{\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}.
Assim
z_{2}=\frac12\,\cis\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr).

Passo 4

Usar as regras de multiplicação e divisão em forma polar:
z_{1}z_{2} =r_{1}r_{2}\,\cis(\varphi_{1}+\varphi_{2}) =\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac12 \,\cis\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{12}+\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) =\frac{3\sqrt{2}}{4}\,\cis\!\Bigl(\tfrac{13\pi}{12}\Bigr),
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{r_{1}}{r_{2}}\,\cis(\varphi_{1}-\varphi_{2}) =\frac{3\sqrt{2}/2}{1/2} \,\cis\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{12}-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) =3\sqrt{2}\,\cis\!\Bigl(-\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 5

Representação gráfica no plano de Argand:
— Desenhe vetores a partir da origem com módulos e argumentos:
  1. z_{1}: raio \tfrac{3\sqrt{2}}{2}, ângulo 5\pi/12.
  2. z_{2}: raio \tfrac12, ângulo 2\pi/3.
  3. z_{1}z_{2}: raio \tfrac{3\sqrt{2}}{4}, ângulo 13\pi/12.
  4. \tfrac{z_{1}}{z_{2}}: raio 3\sqrt{2}, ângulo -\pi/4.

Resposta

z_{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\cis\!\Bigl(\frac{5\pi}{12}\Bigr), \quad z_{2}=\frac12\,\cis\!\Bigl(\frac{2\pi}{3}\Bigr),
z_{1}z_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\,\cis\!\Bigl(\frac{13\pi}{12}\Bigr), \quad \frac{z_{1}}{z_{2}}=3\sqrt{2}\,\cis\!\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr).

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