QUESTÃO 3 ( \mathbf{2 , 5} pts.) - Utilize as equações de Cauchy-Riemann para verificar quais das funções abaixo são analíticas e em que dominio. Caso positivo, calcule a derivada f^{\prime}(z).
f(z)=\frac{1}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(z)=\frac{1}{z^{2}}
é analítica usando as equações de Cauchy–Riemann, determinar em que domínio isso ocorre e, se for o caso, calcular f'(z). Vamos escrever z=x+iy, separar parte real u(x,y) e imaginária v(x,y) de f, aplicar as equações de Cauchy–Riemann e depois achar a derivada.

Passo 2

Escrevendo f em termos de x e y:
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy,
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\frac{1}{z^{2}} =\frac{\overline{z^{2}}}{|z^{2}|^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}-2\,i\,x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
u(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad v(x,y)=-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais (sendo r^{2}=x^{2}+y^{2}):
u_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{4}}\Bigr) =\frac{2x\,r^{2}-4x\,(x^{2}-y^{2})}{r^{6}} =\frac{2x\,(3y^{2}-x^{2})}{r^{6}},
v_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{2xy}{r^{4}}\Bigr) =\frac{-2x\,r^{2}+8xy^{2}}{r^{6}} =\frac{2x\,(3y^{2}-x^{2})}{r^{6}},
u_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{2}-y^{2}}{r^{4}}\Bigr) =\frac{-2y\,r^{2}-4y\,(x^{2}-y^{2})}{r^{6}} =-\frac{2y\,(3x^{2}-y^{2})}{r^{6}},
v_{x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{2xy}{r^{4}}\Bigr) =\frac{-2y\,r^{2}+8x^{2}y}{r^{6}} =\frac{2y\,(3x^{2}-y^{2})}{r^{6}}.

Passo 4

Comparando, vemos que
u_{x}=v_{y} \quad\text{e}\quad u_{y}=-v_{x}
em todo ponto onde r^{2}=x^{2}+y^{2}\neq0. Logo as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas para todo (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Concluímos que f(z)=1/z^{2} é analítica em
\{\,z\in\mathbb{C}\mid z\neq0\}.

Passo 6

Para obter f'(z), basta usar a regra do poder ou os próprios parciais:
f'(z)=-2\,z^{-3}=-\frac{2}{z^{3}}.

Resposta

A função f(z)=1/z^{2} é analítica em \mathbb{C}\setminus\{0\} e
f'(z)=-\frac{2}{z^{3}}.

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